Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar uma doença. Ele usa o teste em pacientes com ou sem a doença. Suponha que ele aplica o teste em uma população onde a taxa de incidência da doença é igual a
. Sabe-se que em indivíduos sem a doença, a probabilidade do resultado do teste ser positivo é de 5% (taxa de falso positivo), enquanto que em indivíduos com a doença, a probabilidade do resultado do teste ser negativo é 20% (taxa de falso negativo). Selecionando-se um indivíduo, ao acaso, dessa população. Qual é a probabilidade de que o resultado do teste seja positivo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um teste para detectar uma doença numa população onde 2% das pessoas têm a doença. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade do teste dar positivo, ou seja, dizer que a pessoa tem a doença.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a Regra da Probabilidade Total. Basicamente, vamos considerar as chances de o teste dar positivo tanto para quem tem a doença quanto para quem não tem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Taxa de incidência da doença: 2% ou seja, $ P(D) = 0{,}02 $
- Probabilidade de não ter a doença: 98%, pois $ 1 - 0{,}02 = 0{,}98 $, então $ P(\neg D) = 0{,}98 $
Passo 3
Agora, vamos olhar para as características do teste:
- Taxa de falso positivo: 5%, que é a probabilidade do teste dar positivo mesmo sem a doença, $ P(T+ | \neg D) = 0{,}05 $
- Taxa de falso negativo: 20%, que é a probabilidade do teste dar negativo mesmo com a doença, $ P(T- | D) = 0{,}20 $
Mas a gente quer $ P(T+ | D) $, que é a probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa tem a doença. Como $ P(T+ | D) = 1 - P(T- | D) $, então:
Passo 4
Agora, vamos usar a Regra da Probabilidade Total para encontrar $ P(T+) $, que é a probabilidade do teste dar positivo independente de a pessoa ter a doença ou não:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A probabilidade de o teste dar positivo é de 6,5%.