Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar uma doença. Ele usa o teste em pacientes com ou sem a doença. Suponha que ele aplica o teste em uma população onde a taxa de incidência da doença é igual a 2 %. Sabe-se que em indivíduos sem a doença, a probabilidade do resultado do teste ser positivo é de 5% (taxa de falso positivo), enquanto que em indivíduos com a doença, a probabilidade do resultado do teste ser negativo é 20% (taxa de falso negativo). Selecionando-se um indivíduo, ao acaso, dessa população. Qual é a probabilidade de que o resultado do teste seja positivo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um teste para detectar uma doença numa população onde 2% das pessoas têm a doença. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade do teste dar positivo, ou seja, dizer que a pessoa tem a doença.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a Regra da Probabilidade Total. Basicamente, vamos considerar as chances de o teste dar positivo tanto para quem tem a doença quanto para quem não tem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Taxa de incidência da doença: 2% ou seja, $ P(D) = 0{,}02 $
  • Probabilidade de não ter a doença: 98%, pois $ 1 - 0{,}02 = 0{,}98 $, então $ P(\neg D) = 0{,}98 $

Passo 3

Agora, vamos olhar para as características do teste:
  • Taxa de falso positivo: 5%, que é a probabilidade do teste dar positivo mesmo sem a doença, $ P(T+ | \neg D) = 0{,}05 $
  • Taxa de falso negativo: 20%, que é a probabilidade do teste dar negativo mesmo com a doença, $ P(T- | D) = 0{,}20 $
Mas a gente quer $ P(T+ | D) $, que é a probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa tem a doença. Como $ P(T+ | D) = 1 - P(T- | D) $, então:
P(T+ | neg D) = 0,05

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra da Probabilidade Total para encontrar $ P(T+) $, que é a probabilidade do teste dar positivo independente de a pessoa ter a doença ou não:
P(T+)
Substituindo os valores que temos:
P(T+) = P(T+ | D) times P(D) + P(T+ | neg D) times P(neg D)
P(T+) = (0,80) times (0,02) + (0,05) times (0,98)

Resposta

A probabilidade de o teste dar positivo é de 6,5%.

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