Um pesquisador determinou a respectiva concentração através do instrumento (Y), obtendo: (2,0 pontos concentrações conhecidas (X)
\
l|lllllllllllllll $X$ & 2,0 & 2,0 & 2,0 & 4,0 & 4,0 & 4,0 & 6,0 & 6,0 & 6,0 & 8,0 & 8,0 & 8 & $Y$ & 2,1 & 1,8 & 1,9 & 4,5 & 4,2 & 4,0 & 6,2 & 6,0 & 6,5 & 8,2 & 7,8 & 7,0 & 10,0 & 10,0 & 10,0 hline 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8
Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,0 10,0 10,0 10,0
hline \
a) Calcule o coeficiente de correlação e ajuste a reta de regressão da variável X em função de .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos 15 pares de valores (X,Y) onde X assume 2, 4, 6, 8 e 10 (cada um repetido 3 vezes) e Y são as leituras do instrumento. A tarefa é:
• Calcular o coeficiente de correlação linear entre X e Y;
• Ajustar a reta de regressão de Y em função de X.
Conteúdo envolvido: estatística descritiva (médias), somas de quadrados (Sxx, Syy, Sxy), fórmula do coeficiente de correlação r e fórmula da reta de regressão $ \hat Y = a + bX $. Vamos precisar das fórmulas básicas e de somar os dados.

Passo 2

Primeiro, a média de X e a média de Y.
Definições:
bar X = 1nsumi=1^n Xi, bar Y = 1nsumi=1^n Yi, n=15
Como X = (2,2,2,4,4,4,6,6,6,8,8,8,10,10,10),
sum Xi = 90Longrightarrow bar X = 9015=6
Y vale (2.1+1.8+1.9)+(4.5+4.2+4.0)+(6.2+6.0+6.5)+(8.2+7.8+7.0)+(10+10+10)=90.2,
logo
bar Y = 90.215approx6.0133

Passo 3

Agora calculamos as somas de quadrados:
Sxx=sumi (Xi-bar X)^2 = sumi Xi^2 - n,bar X^2,
Syy=sumi (Yi-bar Y)^2 = sumi Yi^2 - n,bar Y^2,
Sxy=sumi (Xi-bar X)(Yi-bar Y) = sumi XiYi - n,bar X,bar Y
Na prática:
sum Xi^2 =3(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2)=660,
sum Yi^2approx658.92,
sum XiYi=3(2⋅Sigma Y|X=2+4⋅Sigma Y|X=4+dots+10⋅Sigma Y|X=10)=658.6.
Substituindo:
Sxx=660 -15cdot6^2=120,
Syy=658.92 -15cdot(6.0133)^2approx116.52,
Sxy=658.6 -15cdot6cdot6.0133approx117.4

Passo 4

A reta de regressão Y em função de X é
hat Y = a + bX,
com
b = SxySxx, a = bar Y - b,bar X
Logo
b approx 117.4120approx0.9783, aapprox6.0133 -0.9783cdot6approx0.1435
Então
hat Y approx 0.1435 + 0.9783,X

Passo 5

O coeficiente de correlação r é
$$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx},S_{yy}}}
\approx\frac{117.4}{\sqrt{120\cdot116.52}}\approx0.993.$$

Resposta

Correlação: rapprox0.993
Reta de regressão: hat Y =0.1435 +0.9783,X,

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