Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o limite superior do intervalo de confiança de 90%?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O objetivo é encontrar o limite superior de um intervalo de confiança de 90% para a média dessa resistência. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra e usar a distribuição normal padrão, já que conhecemos a variância da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = sum xin
Vamos somar todos os valores e dividir por 21.

Passo 3

Somando os valores:
9 + 3 + 5 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 18 + 8 + 12 + 11 = 180
Agora, dividindo pela quantidade de observações (21):
barx = 18021 approx 8,57

Passo 4

Agora que temos a média da amostra ($ \bar{x} \approx 8,57 $), vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
barx approx 8,57
Onde $ \sigma $ é o desvio padrão da população e $ n $ é o tamanho da amostra. A variância é 5, então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{5} \approx 2,236 $.
E = sigmaraizn

Passo 5

Para um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ Z $ que corresponde a essa confiança na distribuição normal padrão. Como o intervalo é bilateral, dividimos 10% em duas caudas, ficando 5% em cada lado. Olhando na tabela Z, o valor crítico para 95% (já que estamos considerando uma única cauda) é aproximadamente 1,645.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite superior do intervalo de confiança usando a fórmula:
Limite Superior = barx + Z times E
Substituindo os valores:
Limite Superior = 8,57 + 1,645 times 0,488 approx 8,57 + 0,803 approx 9,373

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança de 90% é aproximadamente 9,37 unidades.

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