Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 90 % ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Um pesquisador coletou uma amostra de 21 valores que representam a resistência de um material, sabendo que essa resistência segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O objetivo é encontrar o limite inferior do intervalo de confiança de 90%.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição normal, média amostral, desvio padrão, erro padrão e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso é feito somando todos os valores e dividindo pelo número de observações.
Os valores são:
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11.
Somando todos esses valores:
9 + 3 + 5 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 18 + 8 + 12 + 11 = 200
Agora, a média ( barx) é:
barx = 20021 approx 9,52

Passo 3

Sabemos que a variância ( sigma^2) é 5 unidades. O desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz5 approx 2,24

Passo 4

Para construir um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ que corresponde a 90% de confiança. Esse valor divide a distribuição normal padrão de tal forma que 5% está em cada cauda.
Consultando uma tabela de valores de $ z $ ou usando uma calculadora, encontramos:
z

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média ( E), que é dado por:
E = sigmaraizn
Onde $ n = 21 $.
Então:
n = 21

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite inferior do intervalo de confiança usando a fórmula:
Limite Inferior = barx - z times E
Substituindo os valores:
Limite Inferior = 9,52 - 1,645 times 0,49 approx 9,52 - 0,80 approx 8,72

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança de 90 % é aproximadamente 8,72 unidades.

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