Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de
?
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Um pesquisador coletou uma amostra de 21 valores que representam a resistência de um material, sabendo que essa resistência segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O objetivo é encontrar o limite inferior do intervalo de confiança de 90%.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição normal, média amostral, desvio padrão, erro padrão e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso é feito somando todos os valores e dividindo pelo número de observações.
Os valores são:
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11.
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11.
Somando todos esses valores:
Agora, a média (
) é:
Passo 3
Sabemos que a variância (
) é 5 unidades. O desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Para construir um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ que corresponde a 90% de confiança. Esse valor divide a distribuição normal padrão de tal forma que 5% está em cada cauda.
Consultando uma tabela de valores de $ z $ ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão da média (
), que é dado por:
Onde $ n = 21 $.
Então:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite inferior do intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança de 90 % é aproximadamente 8,72 unidades.