Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. A gente pegou uma amostra de 21 medidas dessa resistência. Nosso objetivo é encontrar a margem de erro para estimar a resistência média desse material com base nessa amostra. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média amostral, erro padrão e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 9 + 3 + 5 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 18 + 8 + 12 + 1121
Vamos somar todos esses valores:
barx = 9 + 3 + 5 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 18 + 8 + 12 + 1121 = 17721 approx 8,43
Então, a média amostral é aproximadamente 8,43 unidades.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão indica o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão quando a variância é conhecida é:
SE = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
Sabemos que a variância é 5, então o desvio padrão é:
sigma = raiz5 approx 2,236
E o tamanho da amostra n = 21.
Então,
SE = 2,236raiz21 approx 2,2364,583 approx 0,488

Passo 4

Para encontrar a margem de erro, precisamos decidir o nível de confiança que queremos. Geralmente, usa-se 95% de confiança. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que a média verdadeira está dentro de um certo intervalo em torno da média amostral.
Para 95% de confiança, o valor crítico z da distribuição normal padrão é aproximadamente 1,96.
A fórmula da margem de erro E é:
E = z times SE
Substituindo os valores:
E = 1,96 times 0,488 approx 0,955

Resposta

A margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média é aproximadamente 0,96 unidades.

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