Suponha que você esteja interessado em estimar a proporção de funcionários fumantes em uma empresa. Você coletou uma amostra aleatória de 135 funcionários, dentre os quais 21 fumam.
Qual o tamanho amostral necessário se você quisesse reduzir sua margem de erro para 3 %, mantendo o mesmo nível de confiança? Utilize a informações da sua amostra já coletada. A tolerância de erro para a correção é pm 2.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer saber qual o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de funcionários fumantes em uma empresa, reduzindo a margem de erro para 3% e mantendo o mesmo nível de confiança que usamos na amostra inicial. Para isso, vamos usar os dados que já coletamos: de 135 funcionários, 21 são fumantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a proporção de fumantes na amostra que já temos. Isso é simplesmente o número de fumantes dividido pelo total de funcionários na amostra.
p = 21135 approx 0,1556
Então, a proporção estimada de fumantes é aproximadamente 15,56%.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com uma margem de erro específica. A fórmula é:
n = ( z^2 cdot p cdot (1 - p)e^2 )
Onde:
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança.
  • é a proporção estimada de fumantes.
  • é a margem de erro desejada.

Passo 4

Precisamos determinar o valor de correspondente ao nível de confiança que usamos na amostra inicial. Contudo, a questão não especifica qual é esse nível de confiança. Vamos supor que foi o comum de 95%. Para 95% de confiança, o valor de é aproximadamente 1,96.

Passo 5

A margem de erro que queremos agora é 3%, ou seja, .

Passo 6

Vamos substituir todos os valores na fórmula para calcular o novo tamanho da amostra:
n = ( 1,96^2 cdot 0,1556 cdot (1 - 0,1556)0,03^2 )
Primeiro, calculamos o numerador:
1,96^2 = 3,8416
0,1556 cdot (1 - 0,1556) = 0,1556 cdot 0,8444 approx 0,1315
3,8416 cdot 0,1315 approx 0,5052
Agora, o denominador:
0,03^2 = 0,0009
Então:
n = 0,50520,0009 approx 561,33

Resposta

Para reduzir a margem de erro para 3%, mantendo o mesmo nível de confiança, o tamanho amostral necessário é de aproximadamente 562 funcionários.

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