Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
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3
18
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nivel de confiança de
.
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nivel de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pesquisador que está estudando a resistência de um material, que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a média da resistência com um nível de confiança de 90%. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, entender como funciona o intervalo de confiança usando a distribuição normal e aplicar a fórmula correta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso significa somar todos os valores e dividir pelo número total de observações (que é 21).
Os valores são:
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11
Vamos somar:
9 + 3 = 12
12 + 5 = 17
17 + 9 = 26
26 + 11 = 37
37 + 11 = 48
48 + 12 = 60
60 + 12 = 72
72 + 6 = 78
78 + 7 = 85
85 + 8 = 93
93 + 7 = 100
100 + 15 = 115
115 + 12 = 127
127 + 12 = 139
139 + 9 = 148
148 + 3 = 151
151 + 18 = 169
169 + 8 = 177
177 + 12 = 189
189 + 11 = 200
9 + 3 = 12
12 + 5 = 17
17 + 9 = 26
26 + 11 = 37
37 + 11 = 48
48 + 12 = 60
60 + 12 = 72
72 + 6 = 78
78 + 7 = 85
85 + 8 = 93
93 + 7 = 100
100 + 15 = 115
115 + 12 = 127
127 + 12 = 139
139 + 9 = 148
148 + 3 = 151
151 + 18 = 169
169 + 8 = 177
177 + 12 = 189
189 + 11 = 200
Agora, a média (
) é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (
) é dado por:
Onde:
-
é o desvio padrão da população. Sabemos que a variância é 5, então o desvio padrão é . -
é o tamanho da amostra, que é 21.
Então:
Passo 4
Para um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição normal que corresponde a esse nível de confiança. Como a distribuição é simétrica, vamos procurar o valor que deixa 5% em cada cauda (totalizando 10%).
O valor
correspondente a 90% de confiança é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Agora, calculamos a margem de erro (ME) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra.
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média com nível de confiança de 90% é aproximadamente de 8,71 a 10,33 unidades.