Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nivel de confiança de 90 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pesquisador que está estudando a resistência de um material, que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a média da resistência com um nível de confiança de 90%. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, entender como funciona o intervalo de confiança usando a distribuição normal e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso significa somar todos os valores e dividir pelo número total de observações (que é 21).
Os valores são:
9, 3, 5, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 18, 8, 12, 11
Vamos somar:
9 + 3 = 12
12 + 5 = 17
17 + 9 = 26
26 + 11 = 37
37 + 11 = 48
48 + 12 = 60
60 + 12 = 72
72 + 6 = 78
78 + 7 = 85
85 + 8 = 93
93 + 7 = 100
100 + 15 = 115
115 + 12 = 127
127 + 12 = 139
139 + 9 = 148
148 + 3 = 151
151 + 18 = 169
169 + 8 = 177
177 + 12 = 189
189 + 11 = 200
Agora, a média ( barx) é:
barx = 20021 approx 9,52

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão ( EP) é dado por:
EP = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população. Sabemos que a variância é 5, então o desvio padrão é sigma = raiz5 approx 2,24.
  • n é o tamanho da amostra, que é 21.
Então:
EP = 2,24raiz21 approx 2,244,58 approx 0,49

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição normal que corresponde a esse nível de confiança. Como a distribuição é simétrica, vamos procurar o valor que deixa 5% em cada cauda (totalizando 10%).
O valor z correspondente a 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = z times EP
Substituindo os valores:
ME = 1,645 times 0,49 approx 0,81

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra.
Limite inferior = barx - ME approx 9,52 - 0,81 = 8,71
Limite superior = barx + ME approx 9,52 + 0,81 = 10,33

Resposta

O intervalo de confiança para a resistência média com nível de confiança de 90% é aproximadamente de 8,71 a 10,33 unidades.

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