Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual a estimativa da resistência média? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pesquisador que está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a distribuição normal e intervalo de confiança para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Os valores da amostra são:
9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11
Vamos somar todos esses números:
9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 11 = 180
Agora, dividimos pelo número de observações (21):
barx = 18021 approx 8,57
Então, a média amostral é aproximadamente 8,57.

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual distribuição vamos usar para calcular o intervalo de confiança. Como a variável segue uma distribuição normal e a variância é conhecida ( sigma^2 = 5), vamos usar a distribuição normal padrão (z).

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico z para um nível de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% significa que queremos que a área central da distribuição normal seja de 90%, deixando 5% de cada lado.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, o valor crítico z para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
  • n é o tamanho da amostra.
Primeiro, encontramos sigma:
sigma = raiz5 approx 2,236
Agora, o erro padrão:
Erro Padrão = 2,236raiz21 approx 2,2364,583 approx 0,488 ã

Passo 6

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm z times Erro Padrão ã
Substituindo os valores:
8,57 pm 1,645 times 0,488
Calculando a margem de erro:
1,645 times 0,488 approx 0,803
Então, o intervalo de confiança é:
8,57 - 0,803 approx 7,767
8,57 + 0,803 approx 9,373

Resposta

O intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança é de aproximadamente 7,77 a 9,37 unidades. A estimativa da resistência média é 8,57 unidades.

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