Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
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6
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8
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15
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10
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual a estimativa da resistência média?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual a estimativa da resistência média?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pesquisador que está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a distribuição normal e intervalo de confiança para a média.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Isso é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Os valores da amostra são:
9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11
9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11
Vamos somar todos esses números:
Agora, dividimos pelo número de observações (21):
Então, a média amostral é aproximadamente 8,57.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual distribuição vamos usar para calcular o intervalo de confiança. Como a variável segue uma distribuição normal e a variância é conhecida (
), vamos usar a distribuição normal padrão (z).
Passo 4
Vamos encontrar o valor crítico z para um nível de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% significa que queremos que a área central da distribuição normal seja de 90%, deixando 5% de cada lado.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, o valor crítico z para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Em seguida, calculamos o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
Onde:
-
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância). -
é o tamanho da amostra.
Primeiro, encontramos
:
Agora, o erro padrão:
Passo 6
Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo de confiança é:
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança é de aproximadamente 7,77 a 9,37 unidades. A estimativa da resistência média é 8,57 unidades.