Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
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12
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11
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1. mantendo o mesmo nivel de confiança?

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado nos apresenta e identificar o que precisamos para resolver o exercício.
Enunciado resumido: Um pesquisador está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de tamanho 21 com alguns valores específicos. Agora, ele quer saber qual o tamanho amostral necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança.
Conteúdo da matéria: Estatística inferencial, especialmente sobre intervalos de confiança e cálculo do tamanho da amostra.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre distribuição normal.
  • Fórmula para calcular a margem de erro em intervalos de confiança.
  • Fórmula para determinar o tamanho da amostra necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a margem de erro. A margem de erro é a quantidade que adicionamos e subtraímos da nossa estimativa (como a média amostral) para formar um intervalo dentro do qual esperamos que o verdadeiro valor da população esteja, com um certo nível de confiança.
A fórmula para a margem de erro ( E) em um intervalo de confiança para a média, quando a variância é conhecida, é:
E = z times ( sigmaraizn )
Onde:
  • E = margem de erro
  • z = valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado
  • sigma = desvio padrão da população
  • n = tamanho da amostra

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tamanho da amostra ( n) necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança.
Primeiro, precisamos identificar o valor crítico ( z) correspondente ao nível de confiança original. No entanto, o enunciado não especifica o nível de confiança. Vamos supor que o pesquisador utilizou um intervalo de confiança comum, como 95%. Caso precise de outro nível de confiança, ajuste o valor de z de acordo.
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico z é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Sabemos que a variância ( sigma^2) é igual a 5 unidades, então o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz5 approx 2,236

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a fórmula da margem de erro para resolver n:
E = z times ( sigmaraizn )
Isolando raizn:
raizn = z times ( sigmaE )
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver n:
n = ( z times sigmaE )^2

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
  • z = 1,96 (para 95% de confiança)
  • sigma = raiz5 approx 2,236
  • E = 1
n = ( 1,96 times 2,2361 )^2
Calculando o numerador:
1,96 times 2,236 approx 4,38056
Agora, elevando ao quadrado:
n = (4,38056)^2 approx 19,166

Passo 7

Como o tamanho da amostra ( n) deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n approx 20

Resposta

O tamanho amostral necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança, é 20.

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