Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçőes. Ele sabe que essa variável segue distribuiçäo normal com variảncia igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1. mantendo o mesmo nivel de confiança?
9
3
5
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
18
8
12
11
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1. mantendo o mesmo nivel de confiança?
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado nos apresenta e identificar o que precisamos para resolver o exercício.
Enunciado resumido: Um pesquisador está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de tamanho 21 com alguns valores específicos. Agora, ele quer saber qual o tamanho amostral necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança.
Conteúdo da matéria: Estatística inferencial, especialmente sobre intervalos de confiança e cálculo do tamanho da amostra.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre distribuição normal.
- Fórmula para calcular a margem de erro em intervalos de confiança.
- Fórmula para determinar o tamanho da amostra necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a margem de erro. A margem de erro é a quantidade que adicionamos e subtraímos da nossa estimativa (como a média amostral) para formar um intervalo dentro do qual esperamos que o verdadeiro valor da população esteja, com um certo nível de confiança.
A fórmula para a margem de erro (
) em um intervalo de confiança para a média, quando a variância é conhecida, é:
Onde:
-
= margem de erro -
= valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado -
= desvio padrão da população -
= tamanho da amostra
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tamanho da amostra (
) necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança.
Primeiro, precisamos identificar o valor crítico (
) correspondente ao nível de confiança original. No entanto, o enunciado não especifica o nível de confiança. Vamos supor que o pesquisador utilizou um intervalo de confiança comum, como 95%. Caso precise de outro nível de confiança, ajuste o valor de
de acordo.
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Sabemos que a variância (
) é igual a 5 unidades, então o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a fórmula da margem de erro para resolver
:
Isolando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver
:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
-
(para 95% de confiança) -
-
Calculando o numerador:
Agora, elevando ao quadrado:
Passo 7
Como o tamanho da amostra (
) deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho amostral necessário para obter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança, é 20.