Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 90%?
square

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dados sobre a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O pesquisador coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Além disso, precisamos encontrar o limite inferior desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para a média quando a variância é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Os valores da amostra são: 9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11.
Vamos somar todos esses números:
9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 11 = 162
Agora, dividimos pela quantidade de valores, que é 21:
barx = 16221 approx 7,71
Então, a média da amostra é aproximadamente 7,71.

Passo 3

Sabemos que a variância da população é 5 unidades. A variância é o quadrado do desvio padrão. Portanto, o desvio padrão é:
sigma = raiz5 approx 2,24

Passo 4

Como a variância da população é conhecida e a distribuição é normal, utilizaremos a distribuição Z para calcular o intervalo de confiança.
O nível de confiança é de 90%, o que significa que há 5% de margem em cada extremidade da distribuição (totalizando 10%). Precisamos encontrar o valor crítico Z que corresponde a 95% (porque queremos a área central de 90%).
Consultando a tabela da distribuição Z, encontramos que o valor crítico para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida:
barx pm Z times sigmaraizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra.
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição Z.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
barx

Passo 6

Primeiro, calculamos o erro padrão:
sigmaraizn = 2,24raiz21 approx 2,244,58 approx 0,49
Agora, multiplicamos pelo valor crítico Z:
1,645 times 0,49 approx 0,81

Passo 7

Finalmente, aplicamos esse valor à média da amostra para encontrar os limites do intervalo de confiança:
Limite inferior:
7,71 - 0,81 approx 6,90
Limite superior:
7,71 + 0,81 approx 8,52

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a resistência média é aproximadamente 6,90 unidades.

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