Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 90%?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 90%?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dados sobre a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O pesquisador coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Além disso, precisamos encontrar o limite inferior desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para a média quando a variância é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Os valores da amostra são: 9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11.
Vamos somar todos esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de valores, que é 21:
Então, a média da amostra é aproximadamente 7,71.
Passo 3
Sabemos que a variância da população é 5 unidades. A variância é o quadrado do desvio padrão. Portanto, o desvio padrão é:
Passo 4
Como a variância da população é conhecida e a distribuição é normal, utilizaremos a distribuição Z para calcular o intervalo de confiança.
O nível de confiança é de 90%, o que significa que há 5% de margem em cada extremidade da distribuição (totalizando 10%). Precisamos encontrar o valor crítico Z que corresponde a 95% (porque queremos a área central de 90%).
Consultando a tabela da distribuição Z, encontramos que o valor crítico para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição Z.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
Passo 6
Primeiro, calculamos o erro padrão:
Agora, multiplicamos pelo valor crítico Z:
Passo 7
Finalmente, aplicamos esse valor à média da amostra para encontrar os limites do intervalo de confiança:
Limite inferior:
Limite superior:
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a resistência média é aproximadamente 6,90 unidades.