Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o limite superior do intervalo de confiança de 90 % ? square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pesquisador que está estudando a resistência de um material que, segundo ele, segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra e usar a distribuição normal para achar o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pelo número total de observações.
barx = 9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 1121 = 19521 approx 9,29
Então, a média da amostra é aproximadamente 9,29 unidades.

Passo 3

Como a variância da população é conhecida e a distribuição é normal, vamos usar a distribuição z para construir o intervalo de confiança. A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Para um nível de confiança de 90%, alpha = 10% e alpha/2 = 5%. O valor crítico z0,05 da distribuição normal é aproximadamente 1,645.
A variância sigma^2 é 5, então o desvio padrão sigma = raiz5 approx 2,236.

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão ( SE):
SE = sigmaraizn = 2,236raiz21 approx 2,2364,583 approx 0,487

Passo 6

Com tudo isso, montamos o intervalo de confiança:
9,29 pm 1,645 times 0,487 approx 9,29 pm 0,802
Isso resulta em:
8,488 <= mu <= 10,092

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança de 90% é aproximadamente 10,09 unidades.

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