Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
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9
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6
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8
7
15
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9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O pesquisador coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança de 90% para a resistência média. Além disso, ele quer saber qual é a margem de erro dessa estimativa. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, entender como usar a distribuição normal para encontrar o intervalo de confiança e, por fim, determinar a margem de erro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Para isso, somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
Os valores são: 9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11.
Vamos somar esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de valores, que é 21:
Passo 3
Agora que temos a média da amostra, precisamos calcular o intervalo de confiança para a média populacional. Como a variância da população (
) é conhecida e a distribuição é normal, vamos usar a distribuição
para construir o intervalo de confiança.
Passo 4
Para um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico
correspondente. O nível de confiança de 90% significa que há 5% de probabilidade em cada extremidade da distribuição.
Consultando uma tabela
ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (
) é dado por:
Onde:
-
-
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a margem de erro (
). A margem de erro é o produto do valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 7
Com a média da amostra e a margem de erro, podemos construir o intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média é de aproximadamente 7,25 a 8,85 unidades e a margem de erro da estimativa é de 0,80 unidades.