Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. O pesquisador coletou uma amostra de 21 valores e quer calcular o intervalo de confiança de 90% para a resistência média. Além disso, ele quer saber qual é a margem de erro dessa estimativa. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, entender como usar a distribuição normal para encontrar o intervalo de confiança e, por fim, determinar a margem de erro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Para isso, somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
Os valores são: 9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11.
Vamos somar esses números:
9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 11 = 169
Agora, dividimos pela quantidade de valores, que é 21:
Média = 16921 approx 8,05 é

Passo 3

Agora que temos a média da amostra, precisamos calcular o intervalo de confiança para a média populacional. Como a variância da população ( sigma^2) é conhecida e a distribuição é normal, vamos usar a distribuição z para construir o intervalo de confiança.

Passo 4

Para um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente. O nível de confiança de 90% significa que há 5% de probabilidade em cada extremidade da distribuição.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, encontramos:
z = 1,645

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão ( Ep) é dado por:
Ep = sigmaraizn
Onde:
- sigma é o desvio padrão da população. Como a variância é 5, o desvio padrão é raiz5 approx 2,236.
- n é o tamanho da amostra, que é 21.
Então:
Ep = 2,236raiz21 approx 2,2364,583 approx 0,488

Passo 6

Agora, vamos calcular a margem de erro ( ME). A margem de erro é o produto do valor crítico z pelo erro padrão:
ME = z times Ep = 1,645 times 0,488 approx 0,803

Passo 7

Com a média da amostra e a margem de erro, podemos construir o intervalo de confiança:
Intervalo de Confiança = Média pm ME çé
Intervalo = 8,05 pm 0,803
Intervalo = [7,247; 8,853]

Resposta

O intervalo de confiança para a resistência média é de aproximadamente 7,25 a 8,85 unidades e a margem de erro da estimativa é de 0,80 unidades.

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