Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
11
11
12
12
6
7
8
7
15
12
12
9
3
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1 , mantendo o mesmo nível de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o intervalo de confiança para a resistência média de um material, com um nível de confiança de 90%. Além disso, precisamos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que a margem de erro seja de 1, mantendo o mesmo nível de confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal, média amostral, variância e cálculo de intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que foram coletados. Temos uma amostra de 21 valores de resistência:
9, 3, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 7, 15, 12, 12, 9, 3, 10, 8, 12, 11
Vamos calcular a média ( barx) desses valores.

Passo 3

Para encontrar a média, somamos todos os valores e dividimos pelo número total de observações (n = 21):
barx = 9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 1121
Vamos fazer as contas:
barx = 9 + 3 + 8 + 9 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 7 + 15 + 12 + 12 + 9 + 3 + 10 + 8 + 12 + 1121 = 17121 approx 8,14
Então, a média amostral é aproximadamente 8,14 unidades.

Passo 4

Sabemos que a variância da resistência é 5 unidades, portanto o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz5 approx 2,24

Passo 5

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança para a média com 90% de confiança. Como a variância é conhecida e a distribuição é normal, usamos a fórmula do intervalo de confiança usando o z-score:
barx pm z times sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
  • sigma é o desvio padrão
  • n é o tamanho da amostra

Passo 6

Precisamos encontrar o valor crítico z para um nível de confiança de 90%. Isso significa que queremos que a área central sob a curva normal seja de 90%, deixando 5% em cada cauda.
Usando uma tabela de valores da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
z approx 1,645

Passo 7

Agora substituímos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
8,14 pm 1,645 times 2,24raiz21
Primeiro, calculamos 2,24raiz21:
2,24raiz21 approx 2,244,5837 approx 0,4896
Agora, multiplicamos pelo z-score:
1,645 times 0,4896 approx 0,805

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
8,14 - 0,805 approx 7,34
8,14 + 0,805 approx 8,95

Resposta

O intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança é aproximadamente de 7,34 a 8,95 unidades. Além disso, para que a margem de erro seja de 1 unidade mantendo o mesmo nível de confiança, o tamanho amostral necessário é de 33 observações.

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