Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades, Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
9
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12
12
6
7
8
7
15
12
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3
10
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11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1 , mantendo o mesmo nível de confiança?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%.
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1 , mantendo o mesmo nível de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o intervalo de confiança para a resistência média de um material, com um nível de confiança de 90%. Além disso, precisamos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que a margem de erro seja de 1, mantendo o mesmo nível de confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal, média amostral, variância e cálculo de intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que foram coletados. Temos uma amostra de 21 valores de resistência:
Vamos calcular a média (
) desses valores.
Passo 3
Para encontrar a média, somamos todos os valores e dividimos pelo número total de observações (n = 21):
Vamos fazer as contas:
Então, a média amostral é aproximadamente 8,14 unidades.
Passo 4
Sabemos que a variância da resistência é 5 unidades, portanto o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança para a média com 90% de confiança. Como a variância é conhecida e a distribuição é normal, usamos a fórmula do intervalo de confiança usando o z-score:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado -
é o desvio padrão -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Precisamos encontrar o valor crítico
para um nível de confiança de 90%. Isso significa que queremos que a área central sob a curva normal seja de 90%, deixando 5% em cada cauda.
Usando uma tabela de valores da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
Passo 7
Agora substituímos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos pelo z-score:
Passo 8
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança é aproximadamente de 7,34 a 8,95 unidades. Além disso, para que a margem de erro seja de 1 unidade mantendo o mesmo nível de confiança, o tamanho amostral necessário é de 33 observações.