Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
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Qual a estimativa da resistência média?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
Qual a estimativa da resistência média?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador que quer saber qual é a resistência média de um material específico. Ele sabe que essa resistência segue uma distribuição normal com variância de 5 unidades. A gente coletou uma amostra de 21 valores dessa resistência. Nosso objetivo é calcular o intervalo de confiança para essa resistência média com um nível de confiança de 90%. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média amostral, erro padrão e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Olhando os valores fornecidos:
Vamos somar todos esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de valores (18):
Então, a média da amostra é aproximadamente 8,94 unidades.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a média amostral pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão quando a variância é conhecida é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população. Como a variância é 5, o desvio padrão é . -
é o tamanho da amostra, que é 18.
Calculando:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,527 unidades.
Passo 4
Com o nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ correspondente. Esse valor nos indica quantos desvios padrão devemos considerar para o intervalo de confiança. Para um nível de confiança de 90%, o valor de $ z $ é aproximadamente 1,645 (consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística).
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo de confiança fica:
Resposta
A estimativa da resistência média com um nível de confiança de 90% está entre 8,07 unidades e 9,81 unidades.