Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
11
11
12
12
6
7
8
15
12
12
9
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90 %.
Qual a estimativa da resistência média?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador que quer saber qual é a resistência média de um material específico. Ele sabe que essa resistência segue uma distribuição normal com variância de 5 unidades. A gente coletou uma amostra de 21 valores dessa resistência. Nosso objetivo é calcular o intervalo de confiança para essa resistência média com um nível de confiança de 90%. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média amostral, erro padrão e a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Olhando os valores fornecidos:
9, 3, 8, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 15, 12, 12, 9, 10, 8, 12, 11
Vamos somar todos esses números:
9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 11 = 161
Agora, dividimos pela quantidade de valores (18):
barx = 16118 approx 8,94
Então, a média da amostra é aproximadamente 8,94 unidades.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a média amostral pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão quando a variância é conhecida é:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população. Como a variância é 5, o desvio padrão é raiz5 approx 2,236.
  • n é o tamanho da amostra, que é 18.
Calculando:
Erro Padrão = 2,236raiz18 approx 2,2364,243 approx 0,527 ã
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,527 unidades.

Passo 4

Com o nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ correspondente. Esse valor nos indica quantos desvios padrão devemos considerar para o intervalo de confiança. Para um nível de confiança de 90%, o valor de $ z $ é aproximadamente 1,645 (consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística).

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
Intervalo de Confiança = barx pm z cdot Erro Padrão çã
Substituindo os valores que temos:
8,94 pm 1,645 cdot 0,527
Calculando a margem de erro:
1,645 cdot 0,527 approx 0,867
Então, o intervalo de confiança fica:
8,94 - 0,867 approx 8,073
8,94 + 0,867 approx 9,807

Resposta

A estimativa da resistência média com um nível de confiança de 90% está entre 8,07 unidades e 9,81 unidades.

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