Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
11
11
12
12
6
7
8
15
12
12
9
10
8
12
11
Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90 %.
Qual o limite superior do intervalo de confiança de 90%?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador que está analisando a resistência de um material específico. Sabemos que essa resistência segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra aleatória de 21 observações com os seguintes valores:
9, 3, 8, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 15, 12, 12, 9, 10, 8, 12, 11
Nosso objetivo é calcular o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Especificamente, precisamos encontrar o limite superior desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra ( x). Para isso, somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
x = 9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 1118

Passo 3

Calculando a soma dos valores:
9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 11 = 162
Então,
x = 16218 = 9

Passo 4

Agora, vamos determinar o erro padrão da média. O erro padrão ( E) é dado por:
E = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população. Sabemos que a variância ( sigma^2) é 5, então sigma = raiz5 approx 2,236.
  • n é o tamanho da amostra, que é 18.
Então,
E = 2,236raiz18 approx 2,2364,243 approx 0,527

Passo 5

Para um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor z correspondente. Na distribuição normal padrão, o valor crítico zalpha/2 para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite superior do intervalo de confiança usando a fórmula:
Limite Superior = x + zalpha/2 cdot E
Substituindo os valores:
Limite Superior = 9 + 1,645 cdot 0,527 approx 9 + 0,867 approx 9,867

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança de 90% para a resistência média é aproximadamente 9,87 unidades.

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