Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
11
11
12
12
6
7
8
15
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9
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
.
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1, mantendo o mesmo nível de confiança?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
Qual o tamanho amostral necessário se o pesquisador quisesse uma margem de erro de 1, mantendo o mesmo nível de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística sobre resistência de um material. O pesquisador sabe que essa resistência segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Ele coletou uma amostra de 21 valores. Nosso objetivo é calcular o intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança e também descobrir qual o tamanho da amostra necessário para ter uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança. Vamos precisar de conceitos de média amostral, erro padrão, distribuição normal e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então, somamos todos os valores:
9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 11 = 158
Agora, dividimos por 21:
Média = 158 / 21 ≈ 7,52
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão é uma medida de quanto a média da amostra tende a variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população. Como a variância é 5, o desvio padrão . -
é o tamanho da amostra, que é 21.
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ para um nível de confiança de 90%. Esse valor nos diz quantos desvios padrão devemos considerar para capturar a média com a confiança desejada. Para 90% de confiança, $ z $ é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Com o valor de $ z $ e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro. A margem de erro é:
Passo 6
Finalmente, podemos construir o intervalo de confiança. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Isso dá um intervalo de:
Passo 7
Agora, vamos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para uma margem de erro de 1 unidade, mantendo o mesmo nível de confiança de 90%. A fórmula para o tamanho da amostra é:
Onde:
- $ z = 1,645 $
- $ \sigma = \sqrt{5} ≈ 2,24 $
- $ E = 1 $
Substituindo:
Como não podemos ter um número fracionado de observações, arredondamos para cima:
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média com 90% de confiança é de aproximadamente 6,71 a 8,33 unidades. Além disso, para ter uma margem de erro de 1 unidade mantendo o mesmo nível de confiança, o pesquisador precisaria de uma amostra de 14 observações.