Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável segue distribuição normal com variância igual a 5 unidades. Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 21 obtendo-se os seguintes valores:
9
3
8
11
11
12
12
6
7
8
15
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9
10
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
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Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média?
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Calcule o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de
Baseando-se no intervalo encontrado, qual a margem de erro da estimativa obtida na amostra para estimar a resistência média?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular o intervalo de confiança para a resistência média de um material, sabendo que a resistência segue uma distribuição normal com variância igual a 5 unidades. A gente tem uma amostra de 21 valores dessa resistência. Vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente sobre intervalos de confiança para a média quando a variância é conhecida. Precisamos encontrar o intervalo que, com 90% de confiança, contém a média verdadeira da resistência desse material. Além disso, vamos determinar a margem de erro dessa estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da nossa amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os 21 valores e dividir por 21.
Valores da amostra:
9, 3, 8, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 15, 12, 12, 9, 10, 8, 12, 11
9, 3, 8, 11, 11, 12, 12, 6, 7, 8, 15, 12, 12, 9, 10, 8, 12, 11
Vamos somar esses números:
9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 11 = 151
9 + 3 + 8 + 11 + 11 + 12 + 12 + 6 + 7 + 8 + 15 + 12 + 12 + 9 + 10 + 8 + 12 + 11 = 151
Agora, dividimos pela quantidade de elementos (21):
Média da amostra ( ) = 151 / 21 ≈ 7,1905
Média da amostra (
Passo 3
Agora que temos a média da amostra, vamos lembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança -
é o desvio padrão da população (raiz da variância) -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Precisamos determinar o valor crítico
para um nível de confiança de 90%. Isso quer dizer que queremos que 90% da distribuição normal esteja dentro desse intervalo. Como a distribuição é simétrica, distribuímos os 10% restantes igualmente nas duas caudas (5% em cada). Consultando uma tabela z ou usando uma ferramenta, encontramos que o valor crítico
para 95% acumulado (já que é uma distribuição bilateral) é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Vamos calcular o desvio padrão da população (
) a partir da variância fornecida. A variância (
) é 5 unidades, então:
Agora, calculamos o erro padrão (
) da média:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, podemos determinar a margem de erro (
) multiplicando o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Então, o intervalo fica:
Resposta
O intervalo de confiança para a resistência média é de aproximadamente 6,39 a 7,99 unidades e a margem de erro da estimativa é de 0,80 unidades.