Um pesquisador precisa de 10 voluntários no mínimo para a realização de um estudo. Para isso ele consulta 35 pessoas de uma população onde 80 % são mulheres e 20 % são homens. Sabendo que a probabilidade de aceitação para a participação no estudo é de 50 % para homens e 25 % para mulheres, calcule a probabilidade de que
(a) (1.0) Um indivíduo ao acaso da população aceite ser voluntário.
(b) (1.0) O pesquisador não obtenha os 10 voluntários necessários para a realização do estudo.

Passo 1

A questão trata de probabilidade total e distribuição binomial. Precisamos primeiro achar a probabilidade de um indivíduo aceitar (lei da probabilidade total) e depois modelar o número de voluntários entre 35 pessoas como uma variável binomial para calcular a chance de ter menos que 10 aceites.

Passo 2

Queremos a probabilidade de um indivíduo aceitar participar. Seja A o evento “aceitar”. Aplicando a lei da probabilidade total:
P(mulher)=0{,}8 e P(homem)=0{,}2
P(A|mulher)=0{,}25 e P(A|homem)=0{,}5
P(A)=P(mulher)·P(A|mulher)+P(homem)·P(A|homem)
P(A)=0{,}8·0{,}25+0{,}2·0{,}5 =0{,}2+0{,}1=0{,}3

Passo 3

Modelamos o número de voluntários X em 35 convites como X∼Binomial(n=35,p=0,3). O pesquisador falha em obter 10 voluntários se X≤9. Logo,
P(não ter 10)=P(X≤9)=∑_{k=0}^{9} \binom{35}{k}(0{,}3)k(0{,}7){35−k}

Passo 4

Para ter uma ideia numérica podemos usar a aproximação normal (μ=np=10{,}5, σ=√(np(1−p))≈2{,}71) com correção de continuidade:
P(X≤9)≈P\bigl(Z≤\frac{9{,}5−10{,}5}{2{,}71}\bigr)=P(Z≤−0{,}37)≈0{,}36

Resposta

(a) 0{,}3 (b) ∑_{k=0}^{9} \binom{35}{k}(0{,}3)k(0{,}7){35−k} ≈ 0{,}36

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