9- Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos:
  • $ 22.000 de hoje a dois meses
  • $ 57.000 de hoje a cinco meses
  • $ 90.000 de hoje a sete meses
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do mês e o Segundo no final do mês. Sendo de ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de comparação:
a) Hoje
b) No vencimento do primeiro pagamento proposto
c) No vencimento do Segundo pagamento proposto

Passo 1

O enunciado trata de equivalência de dívidas sob juros simples à taxa de i=3,7% ao mês. Temos três obrigações:
  • ,22000 daqui a 2 meses
  • ,57000 daqui a 5 meses
  • ,90000 daqui a 7 meses
Queremos substituí-las por dois pagamentos iguais X, um no mês 6 e outro no mês 8, de modo que o valor equivalente das dívidas originais e dos novos pagamentos seja o mesmo na data de comparação escolhida. Vamos fazer isso para:
a) hoje ( t=0)
b) no mês 6 ( t=6)
c) no mês 8 ( t=8)

Passo 2

Data de comparação: hoje ( t=0).
  1. Valor presente das dívidas originais:
PV0=220001+0,037cdot2 +570001+0,037cdot5 +900001+0,037cdot7
  1. Valor presente dos dois pagamentos X nos meses 6 e 8:
PVnovos=X1+0,037cdot6+X1+0,037cdot8
  1. Impor equivalência PV0=PVnovos e resolver para X.

Passo 3

Data de comparação: mês 6 ( t=6).
  1. Trazer cada dívida a t=6 (acumular ou descontar conforme necessário):
  • 22000 de t=2 para t=6: multiplica por (1+0,037cdot4).
  • 57000 de t=5 para t=6: multiplica por (1+0,037cdot1).
  • 90000 de t=7 para t=6: divide por (1+0,037cdot1).
V6,originais =22000(1+0,037cdot4) +57000(1+0,037cdot1) +900001+0,037cdot1
  1. Valor dos novos pagamentos em t=6:
V6,novos = X + X1+0,037cdot2
  1. Impor equivalência V6,originais=V6,novos e resolver para X.

Passo 4

Data de comparação: mês 8 ( t=8).
  1. Acumular cada dívida até t=8:
  • 22000 de t=2 para t=8: multiplica por (1+0,037cdot6).
  • 57000 de t=5 para t=8: multiplica por (1+0,037cdot3).
  • 90000 de t=7 para t=8: multiplica por (1+0,037cdot1).
V8,originais =22000(1+0,037cdot6) +57000(1+0,037cdot3) +90000(1+0,037cdot1)
  1. Valor dos novos pagamentos em t=8:
V8,novos =X(1+0,037cdot2)+X
  1. Impor equivalência V8,originais=V8,novos e resolver para X.

Resposta

(a) Comparando hoje, cada pagamento deve ser
Xapprox 88,067,5
(b) Comparando no final do 6º mês, cada pagamento deve ser
Xapprox 88,642
(c) Comparando no final do 8º mês, cada pagamento deve ser
Xapprox 88,508

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