Pesquisadores analisam a contaminação por mercúrio em aquíferos de duas regiões distintas. A maior parte das amostras (80%) provém de áreas sem atividade de mineração, onde a presença de mercúrio é rara (
). O restante (
) vem de regiões com mineração, onde há maior probabilidade de contaminação (50%).
Ao se detectar mercúrio em uma amostra aleatória, qual é a probabilidade de que ela seja oriunda da região com mineração?
Ao se detectar mercúrio em uma amostra aleatória, qual é a probabilidade de que ela seja oriunda da região com mineração?
Passo 1
O enunciado pede: ao se detectar mercúrio em uma amostra aleatória, qual é a probabilidade de que ela seja oriunda da região com mineração?
Informações fornecidas (vou escrever cada dado em forma de probabilidade):
- A fração de amostras que vem de áreas sem mineração é
. Ou seja, a probabilidade de uma amostra ser de área sem mineração é . - A fração de amostras que vem de áreas com mineração é
. Ou seja, . - Em áreas sem mineração a presença de mercúrio é rara: a probabilidade de detectar mercúrio numa amostra dessas é
. Ou seja, . - Em áreas com mineração a probabilidade de contaminação é
. Ou seja, .
O que se quer:
, a probabilidade de que a amostra venha da região com mineração dado que detectou-se mercúrio.
Passo 2
Qual método usar e por quê? Aqui precisamos inverter probabilidades condicionais: conhecemos
e
e queremos
. A ferramenta padrão para esse tipo de problema é o Teorema de Bayes. Vou apresentá-lo e definir os eventos.
Definições de eventos (nomes claros):
-
: evento “amostra é da região com mineração”. -
: evento “amostra é da região sem mineração”. -
: evento “foi detectado mercúrio na amostra”.
As probabilidades dadas em símbolos:
-
. -
. -
. -
.
Teorema de Bayes (fórmula):
Aqui
é a probabilidade total de detectar mercúrio em uma amostra qualquer — vamos calcular isso no próximo passo.
Passo 3
Calcular
(probabilidade total de detecção) usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os números (cada substituição explicada):
-
. Isso é a contribuição para detecção vindo das amostras de mineração. -
. Isso é a contribuição para detecção vindo das amostras sem mineração.
Agora calculo explicitamente:
Somando:
Interpretação rápida: em toda a população de amostras, espera-se detectar mercúrio em
delas.
Passo 4
Aplicar Bayes para obter
. Usando a fórmula e os valores já computados:
Já calculamos o numerador em Passo 3:
. Portanto
Passo 5
Simplificar a fração e apresentar em forma decimal e percentual. A fração pode ser simplificada:
Como decimal:
Como porcentagem:
Passo 6
Interpretação final e incentivo: isso significa que, mesmo que só
das amostras venham de áreas mineradas, ao detectar mercúrio a probabilidade da amostra vir de uma área minerada é alta: cerca de
. É o efeito da alta taxa de contaminação em áreas mineradas combinada com a baixa taxa em áreas não mineradas. Boa! Você conseguiu acompanhar o raciocínio — esse tipo de problema é sempre aplicar a probabilidade total e o Teorema de Bayes com cuidado nas contas.