Pesquisadores analisam a contaminação por mercúrio em aquíferos de duas regiões distintas. A maior parte das amostras (80%) provém de áreas sem atividade de mineração, onde a presença de mercúrio é rara ( 5 \% ). O restante ( 20 \% ) vem de regiões com mineração, onde há maior probabilidade de contaminação (50%).
Ao se detectar mercúrio em uma amostra aleatória, qual é a probabilidade de que ela seja oriunda da região com mineração?

Passo 1

O enunciado pede: ao se detectar mercúrio em uma amostra aleatória, qual é a probabilidade de que ela seja oriunda da região com mineração?
Informações fornecidas (vou escrever cada dado em forma de probabilidade):
  • A fração de amostras que vem de áreas sem mineração é 80\%. Ou seja, a probabilidade de uma amostra ser de área sem mineração é P(\text{SemMineração})=0,8çã.
  • A fração de amostras que vem de áreas com mineração é 20\%. Ou seja, P(\text{Mineração})=0,2çã.
  • Em áreas sem mineração a presença de mercúrio é rara: a probabilidade de detectar mercúrio numa amostra dessas é 5\%. Ou seja, P(\text{Detectado}\mid\text{SemMineração})=0,05çã.
  • Em áreas com mineração a probabilidade de contaminação é 50\%. Ou seja, P(\text{Detectado}\mid\text{Mineração})=0,5çã.
O que se quer: P(\text{Mineração}\mid\text{Detectado})çã, a probabilidade de que a amostra venha da região com mineração dado que detectou-se mercúrio.

Passo 2

Qual método usar e por quê? Aqui precisamos inverter probabilidades condicionais: conhecemos P(\text{Detectado}\mid\text{Mineração})çã e P(\text{Detectado}\mid\text{SemMineração})çã e queremos P(\text{Mineração}\mid\text{Detectado})çã. A ferramenta padrão para esse tipo de problema é o Teorema de Bayes. Vou apresentá-lo e definir os eventos.
Definições de eventos (nomes claros):
  • M: evento “amostra é da região com mineração”.
  • N: evento “amostra é da região sem mineração”.
  • D: evento “foi detectado mercúrio na amostra”.
As probabilidades dadas em símbolos:
  • P(M)=0,2.
  • P(N)=0,8.
  • P(D\mid M)=0,5.
  • P(D\mid N)=0,05.
Teorema de Bayes (fórmula):
P(M\mid D)=\frac{P(D\mid M)\,P(M)}{P(D)}.
Aqui P(D) é a probabilidade total de detectar mercúrio em uma amostra qualquer — vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calcular P(D) (probabilidade total de detecção) usando a regra da probabilidade total:
P(D)=P(D\mid M)\,P(M)+P(D\mid N)\,P(N).
Substituindo os números (cada substituição explicada):
  • P(D\mid M)\,P(M)=0,5\times0,2. Isso é a contribuição para detecção vindo das amostras de mineração.
  • P(D\mid N)\,P(N)=0,05\times0,8. Isso é a contribuição para detecção vindo das amostras sem mineração.
Agora calculo explicitamente:
0,5\times0,2=0,1,
0,05\times0,8=0,04.
Somando:
P(D)=0,1+0,04=0,14.
Interpretação rápida: em toda a população de amostras, espera-se detectar mercúrio em 14\% delas.

Passo 4

Aplicar Bayes para obter P(M\mid D). Usando a fórmula e os valores já computados:
P(M\mid D)=\frac{P(D\mid M)\,P(M)}{P(D)}=\frac{0,5\times0,2}{0,14}.
Já calculamos o numerador em Passo 3: 0,5\times0,2=0,1. Portanto
P(M\mid D)=\frac{0,1}{0,14}.

Passo 5

Simplificar a fração e apresentar em forma decimal e percentual. A fração pode ser simplificada:
\frac{0,1}{0,14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}.
Como decimal:
\frac{5}{7}\approx0,7143.
Como porcentagem:
0,7143\approx71,43\%.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: isso significa que, mesmo que só 20\% das amostras venham de áreas mineradas, ao detectar mercúrio a probabilidade da amostra vir de uma área minerada é alta: cerca de 71{,}4\%. É o efeito da alta taxa de contaminação em áreas mineradas combinada com a baixa taxa em áreas não mineradas. Boa! Você conseguiu acompanhar o raciocínio — esse tipo de problema é sempre aplicar a probabilidade total e o Teorema de Bayes com cuidado nas contas.

Resposta

\dfrac{5}{7}\approx0,7143\approx71,43\%

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