Pesquisadores da NASA estavam estudando o movimento de uma partícula e descobriram que a velocidade da partícula satisfaz a equação diferencial
t d vd t=t e^t-v
Esta EDO é linear? De qual ordem? Encontre a função que descreve a velocidade da partícula. Sabendo que velocidade do objeto após 1 s é 2 m / s qual a solução particular?

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
t dvdt = t e^t - v
que descreve a velocidade v(t). Precisamos identificar se ela é linear, sua ordem e resolver usando fator integrante.

Passo 2

Para ver se é linear e de que ordem, colocamos em forma padrão: dividindo por t (supondo tneq 0) obtemos
dvdt + 1t,v = e^t
Note que é linear em v (aparece v e dv/dt com coeficientes que são funções de t) e de primeira ordem (máxima derivada é dv/dt).

Passo 3

Como é uma EDO linear de primeira ordem, calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 1t,dtr) = exp(ln t) = t
Multiplicando a equação padrão por mu(t) temos
ddtl(t,vr) = t,e^t

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t,
t,v = integral t,e^t,dt = e^t(t-1) + C,
onde C é constante de integração. Portanto, a solução geral é
v(t) = e^t(t-1) + Ct = e^tt-1t + Ct

Passo 5

Aplicando a condição inicial v(1)=2, temos
2 = e^11-11 + C1 = 0 + C
logo C = 2. Assim, a solução particular é
v(t) = e^tt-1t + 2t

Resposta

A EDO é linear de primeira ordem.
Solução geral:
v(t) = e^tt-1t + Ct
Solução particular com v(1)=2:
v(t) = e^tt-1t + 2t

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