Pesquisadores da NASA estavam estudando o movimento de uma partícula e descobriram que a velocidade da partícula satisfaz a equação diferencial
Esta EDO é linear? De qual ordem? Encontre a função que descreve a velocidade da partícula. Sabendo que velocidade do objeto após
é
qual a solução particular?
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO
que descreve a velocidade
. Precisamos identificar se ela é linear, sua ordem e resolver usando fator integrante.
Passo 2
Para ver se é linear e de que ordem, colocamos em forma padrão: dividindo por
(supondo
) obtemos
Note que é linear em
(aparece
e
com coeficientes que são funções de
) e de primeira ordem (máxima derivada é
).
Passo 3
Como é uma EDO linear de primeira ordem, calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação padrão por
temos
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é constante de integração. Portanto, a solução geral é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
, temos
logo
. Assim, a solução particular é
Resposta
A EDO é linear de primeira ordem.
Solução geral:
Solução geral:
Solução particular com
: