Pesquise sobre os seguintes tópicos abaixo que tratam da topologia do \mathbb{R}^{n} :
(e) Conjunto de fronteira;

Passo 1

O enunciado pede para apresentar o conceito de conjunto de fronteira de um subconjunto A\subseteq\mathbb{R}^n. Para isso, vamos usar as noções de interior e de fecho (clausura) de A, que são fundamentais em topologia de \mathbb{R}^n.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de interior de A. O interior de A, denotado \mathrm{Int}(A), é o conjunto de todos os pontos x\in\mathbb{R}^n para os quais existe um raio \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\subseteq A,
onde
B(x,\varepsilon)=\{y\in\mathbb{R}^n \mid \|y-x\|<\varepsilon\}.
Ou seja, cada ponto do interior tem uma “bolinha” totalmente contida em A.

Passo 3

Em seguida, definimos o fecho (ou clausura) de A, denotado \overline{A}. É o menor conjunto fechado que contém A e pode ser caracterizado como
\overline{A} = \{\,x\in\mathbb{R}^n \mid \text{toda bola }B(x,\varepsilon)\text{ intercepta }A\}.
Isso significa que em torno de cada ponto de \overline{A} há sempre algum ponto de A.

Passo 4

Com interior e fecho em mãos, definimos a fronteira de A por
\partial A =\overline{A}\setminus \mathrm{Int}(A).
Geometricamente, \partial A são os pontos que “estão tão próximos de A que não cabem bolinhas inteiras dentro nem inteiramente fora de A”.

Passo 5

Uma definição equivalente, sem mencionar interior nem fecho, é:
x\in \partial A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0,\; B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset \quad\text{e}\quad B(x,\varepsilon)\cap(\mathbb{R}^n\setminus A)\neq\emptyset.
Ou seja, qualquer bola centrada em x encontra pontos de A e pontos de A^c.

Passo 6

Algumas propriedades importantes de \partial A:
  1. \partial A é sempre um conjunto fechado.
  2. \partial A=\partial(\mathbb{R}^n\setminus A); isto é, A e seu complementar têm a mesma fronteira.
  3. \overline{A}=\mathrm{Int}(A)\,\dot{\cup}\,\partial A e \mathbb{R}^n\setminus A=\mathrm{Int}(A^c)\,\dot{\cup}\,\partial A.

Passo 7

Exemplo clássico: se A=B(0,R)=\{x\mid\|x\|<R\} é a bola aberta de raio R, então
\partial A =\{x\mid\|x\|=R\},
ou seja, a esfera de raio R.

Resposta

A fronteira de um conjunto A\subseteq\mathbb{R}^n é
\partial A =\overline{A}\setminus \mathrm{Int}(A),
que também pode ser caracterizada como o conjunto de pontos cujas vizinhanças interceptam simultaneamente A e seu complementar.

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