Uma pessoa aplica \mathrm{R} \ 500,00 numa instituição bancária que paga juros compostos deçãá3,5 % ao mês. Sabendo que o montante ( M ) é dado porêé\mathrm{M}=\mathrm{C}(1+\mathrm{i})^{\mathrm{t}} , sendo C o capital aplicado, i a taxa e to tempo em meses, o tempo necessário de aplicação para obteráçã\mathrm{R} $3500,00$ será, aproximadamente, de:
Utilize os seguintes valores para log t:
\underline{t} 1,035 1,35 2 3 3,5 4 4,5 5 6 7
Log t 0,015 0,14 0,3 0,48 0,54 0,6 0,65 0,7 0,78 0,85
A) 1,3
B) 1,6
C) 6,1
D) 24,3
E) 56,6

Passo 1

O enunciado dá:
  • Capital inicial C = \mathrm{R}\$\,500,00.
  • Taxa de juros compostos por mês i = 3,5\% = 0,035.
  • Montante desejado M = \mathrm{R}\$\,3500,00.
  • Fórmula do montante: M = C(1+i)^{t}, onde t é o tempo em meses que queremos achar.
  • Também é fornecida uma tabela com valores de \log t (vou usar os valores da tabela conforme pedido).
A pergunta é: qual o tempo t (em meses), aproximadamente, para que o montante seja \mathrm{R}\$\,3500,00? As opções são A) 1,3 B) 1,6 C) 6,1 D) 24,3 E) 56,6.

Passo 2

Primeiro transformar a equação do montante para isolar a potência. Substituindo C, M e i:
3500 = 500\,(1+0,035)^{t}.
Dividindo ambos os lados por 500:
7 = (1,035)^{t}.
Ou seja, precisamos achar t tal que (1,035)^{t}=7.

Passo 3

Para resolver uma equação da forma a^{t}=b usamos logaritmos. Aplicando log em ambos os lados (pode ser log na base 10, pois a base cancela na razão):
\log(7)=t\cdot \log(1,035).
Logo
t = \dfrac{\log(7)}{\log(1,035)}.
Explicando rapidinho: log transforma potência em produto, ou seja \log(a^{t})=t\log(a). Assim isolamos t.

Passo 4

Agora uso os valores de log fornecidos na tabela do enunciado — peguei esses valores da tabela:
  • \log(7)=0,85 (valor da tabela para t=7).
  • \log(1,035)=0,015 (valor da tabela para t=1,035).
Substituindo:
t = \dfrac{0,85}{0,015}.

Passo 5

Faço a divisão de forma exata com frações para não usar calculadora:
\dfrac{0,85}{0,015}=\dfrac{85/100}{15/1000}=\dfrac{85}{100}\cdot\dfrac{1000}{15}=\dfrac{85\cdot 10}{15}=\dfrac{850}{15}.
Agora divide-se:
\dfrac{850}{15}=56+\dfrac{10}{15}=56+\dfrac{2}{3}=56{,}666\ldots
Arredondando para uma casa decimal, t\approx56{,}7, que na lista oferecida aparece como 56{,}6 (opção mais próxima).

Passo 6

Interpretação: são aproximadamente 56{,}7 meses, isto é pouco menos de 4 anos e 9 meses. Comparando com as alternativas, a correta é a opção que indica cerca de 56{,}6 meses.

Resposta

\text{E) }56{,}6\\ \text{meses}

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