- Uma pessoa deixa cair uma pedra do alto de uma ponte e ouve o barulho da pedra na água 4 s depois. (a) Estimar a distância entre a água embaixo da ponte e a pessoa, com a hipótese de o tempo necessário para o som chegar ao experimentador ser desprezível. (b) Melhorar a estimativa anterior usando o resultado conseguido na parte (a) para a distância entre a pessoa e a água para estimar o tempo necessário para o som percorrer esta distância, e depois calculando a distância de queda da pedra no intervalo de tempo de 4 s menos este tempo estimado. © Calcular a distância exata e comparar os resultados com as estimativas anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma pedra sendo deixada cair de uma ponte e o tempo total até ouvir o barulho dela na água. A matéria envolvida aqui é cinemática, que estuda o movimento dos corpos, e acústica, que trata da propagação do som. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de queda livre e da velocidade do som.
Passo 2
Parte (a): Estimar a distância considerando que o som chega instantaneamente.
Primeiro, vamos supor que o tempo que o som leva para viajar da água até a pessoa seja desprezível, ou seja, todo os 4 segundos são só o tempo de queda da pedra. Na queda livre, a distância $ h $ pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $)
- $ t $ é o tempo de queda (4 s)
Substituindo:
Passo 3
Parte (b): Melhorar a estimativa considerando o tempo que o som leva para chegar até a pessoa.
Agora, vamos levar em conta que o som leva um tempo $ t_s $ para percorrer a distância $ h $. Então, o tempo total de 4 segundos é dividido em $ t_f $ (tempo de queda) e $ t_s $:
Sabemos que o som viaja a aproximadamente $ 340 , m/s $. Então:
Como $ h = \frac{1}{2} g t_f^2 $, substituímos na equação do tempo total:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t_f $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Agora, calculamos $ h $:
Passo 4
Parte ©: Calcular a distância exata e comparar com as estimativas anteriores.
Para obter a distância exata, precisamos resolver a equação completa considerando o tempo do som. Usamos a mesma equação que montamos na parte (b):
Já resolvemos e encontramos $ t_f \approx 3,82 , segundos $ e $ h \approx 71,6 , metros $.
Comparando as estimativas:
- Na parte (a), assumimos que todo o tempo foi de queda e obtivemos $ 78,4 , metros $.
- Na parte (b), considerando o tempo do som, achamos $ 71,6 , metros $, mais preciso.
Resposta
A distância exata entre a pessoa e a água é aproximadamente 71,6 metros.