Questão 6 (Questão 6 do Questionário em PDF) - Um medicamento líquido com viscosidade 0,00085 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e massa específica 885 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} deve ser administrado através de uma agulha hipodérmica. O diâmetro interno da agulha é 0,12 \mathrm{~mm} e o seu comprimento é 6 mm . Determine (a) a máxima vazão em volume para a qual o escoamento ainda será laminar, (b) a queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima.

Passo 1

O enunciado dá um fluido com viscosidade dinâmica \mu=0,00085\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} e densidade \rho=885\\ \mathrm{kg/m^{3}}, escoando numa agulha de diâmetro interno D=0,12\\ \mathrm{mm}=0,12\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e comprimento L=6\\ \mathrm{mm}=6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Conteúdo: critério de Reynolds para escoamento laminar e lei de Hagen–Poiseuille para queda de pressão em tubo cilíndrico. Vamos calcular (a) a vazão volumétrica máxima para \mathrm{Re}\le2300 e (b) a pressão \Delta p necessária para essa vazão.

Passo 2

Primeiro calculamos a viscosidade cinemática
\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0,00085}{885} \approx 9,60\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Para que o escoamento permaneça laminar, exige‐se
\mathrm{Re} = \frac{V_{\mathrm{m}}\,D}{\nu} \le 2300,
onde V_{\mathrm{m}} é a velocidade média. Logo
V_{\mathrm{m,max}} = \frac{2300\,\nu}{D}.

Passo 3

A vazão volumétrica corresponde a
Q_{\max} = V_{\mathrm{m,max}} \, A = \frac{2300\,\nu}{D}\;\frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{2300\,\pi\,\nu\,D}{4}.
Substituindo valores:
Q_{\max} = \frac{2300\cdot\pi\cdot(9{,}60\times10^{-7})\cdot(0{,}12\times10^{-3})}{4} \approx 2{,}08\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s}
(aprox.\ 0{,}21\\ \mathrm{mL/s}).

Passo 4

Para a queda de pressão usamos a lei de Hagen–Poiseuille
Q = \frac{\pi R^{4}}{8\,\mu\,L}\,\Delta p,
onde R=D/2. Invertendo para \Delta p:
\Delta p = \frac{8\,\mu\,L\,Q}{\pi\,R^{4}} = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,D^{4}}.
Substituindo Q=2{,}08\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s}, \mu=0{,}00085\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}, L=6\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e D=0{,}12\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, obtém‐se
\Delta p \approx 2{,}09\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) Q_{\max}\approx2{,}08\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s}
(b) \Delta p\approx2{,}09\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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