Seja
uma variável aleatória discreta com f.m.p. dada por:
em que
é uma constante conhecida.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (interpretação cuidadosa):
com
e a pergunta é calcular
.
Observação importante (correção necessária para a pmf ser válida): a forma usual da distribuição geométrica com suporte em
é
Se usássemos exatamente
com suporte
a soma das probabilidades seria
, não
. Portanto vou assumir que o enunciado quis dizer a forma padrão
e que
e
são inteiros não-negativos (ou positivos) compatíveis com o suporte de
. Com essa interpretação, a distribuição é a geométrica (contagem de ensaios até o primeiro sucesso).
Passo 2
Definição básica que vamos usar: probabilidade condicional.
Para quaisquer eventos e
com
,
Para quaisquer eventos
No nosso caso queremos
Como o evento
está contido em
(porque
), a interseção é simplesmente
. Logo
Isto é só a aplicação direta da definição de probabilidade condicional — passo fundamental e simples.
Passo 3
Calcular
para a geométrica com pmf
(
).
Vamos somar as probabilidades dos valores maiores que :
Vamos somar as probabilidades dos valores maiores que
Para manipular essa soma, faço uma mudança de índice: seja
. Então quando
temos
e quando
temos
. Também
. Substituindo,
A soma geométrica
converge porque
, e vale
Substituindo de volta,
Portanto para qualquer inteiro
(ou
, dependendo da convenção), temos a fórmula simples
Passo 4
Aplicar o resultado do passo anterior aos termos do condicional:
e
Estas igualdades vêm direto da fórmula
com
e
.
Passo 5
Dividir para obter a probabilidade condicional:
Simplificando potências com mesma base,
Passo 6
Interpretação e comentário didático (memória da geométrica):
O resultado mostra a propriedade de “falta de memória” (memoryless) da distribuição geométrica: dado que já passaram
ensaios sem sucesso, a probabilidade de esperar mais do que
ensaios adicionais até o primeiro sucesso não depende de
, depende só de
. Em palavras: o processo “recomeça” após
falhas. Isso é útil na prova porque permite substituir um cálculo longo por uma expressão direta.
O resultado
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
.