Verifique: Se A, B e C são três eventos quaisquer, então
P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) .

Passo 1

O enunciado dá três eventos quaisquer A, B e C e pede para verificar a igualdade
P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C).
Informações relevantes fornecidas:
  • A, B e C são eventos (subconjuntos do espaço amostral) e P(\cdot) é uma probabilidade que satisfaz os axiomas (em particular, aditividade finita para conjuntos disjuntos).
  • A expressão envolve probabilidades de uniões e interseções simples (par e trípla).
    A partir daqui vamos provar a igualdade passo a passo, usando decomposição em regiões disjuntas e a aditividade da probabilidade.

Passo 2

Vou decompor o conjunto A\cup B\cup C em sete partes disjuntas (essas partes são as sete regiões clássicas da figura de Venn para três conjuntos). Defino as seguintes partes (cada uma representa exatamente uma das regiões de Venn):
\begin{aligned} & A_1 = A \setminus (B\cup C),\\[4pt] & B_1 = B \setminus (A\cup C),\\[4pt] & C_1 = C \setminus (A\cup B),\\[4pt] & AB = (A\cap B)\setminus C,\\[4pt] & AC = (A\cap C)\setminus B,\\[4pt] & BC = (B\cap C)\setminus A,\\[4pt] & ABC = A\cap B\cap C. \end{aligned}
Explicando em linguagem simples: A_1 é a parte que pertence só a A; AB é a parte que pertence a A e B mas não a C; e ABC é a parte comum aos três. Cada um desses sete conjuntos é disjunto dos outros, e a união dos sete dá exatamente A\cup B\cup C.]

Passo 3

Pela aditividade da probabilidade sobre conjuntos disjuntos (axioma: se D_1,\dots,D_n são disjuntos então P(\bigcup_i D_i)=\sum_i P(D_i)), temos
P(A\cup B\cup C)=P(A_1)+P(B_1)+P(C_1)+P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC).
Isso é intuitivo: a probabilidade da união é a soma das probabilidades de cada região não sobreposta.

Passo 4

Agora escrevo P(A), P(B) e P\text{(C)} em termos dessas mesmas regiões, lembrando que A é a união disjunta de A_1, AB, AC e ABC:
\begin{aligned} P(A) &= P(A_1)+P(AB)+P(AC)+P(ABC),\\[4pt] P(B) &= P(B_1)+P(AB)+P(BC)+P(ABC),\\[4pt] P\text{(C)} &= P(C_1)+P(AC)+P(BC)+P(ABC). \end{aligned}
Aqui usei novamente que as partes são disjuntas ao decompor cada evento.]

Passo 5

Escrevo também as probabilidades das interseções de pares em termos das regiões:
\begin{aligned} P(A\cap B) &= P(AB)+P(ABC),\\[4pt] P(A\cap C) &= P(AC)+P(ABC),\\[4pt] P(B\cap C) &= P(BC)+P(ABC). \end{aligned}
Cada interseção par contém a parte dupla exclusiva e também a parte tripla ABC.]

Passo 6

Faço a combinação proposta no enunciado: somo P(A)+P(B)+P\text{(C)} e subtraio P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C). Substituo as expressões dos passos anteriores e organizo os termos por região.
Primeiro, some P(A)+P(B)+P\text{(C)}:
\begin{aligned} P(A)+P(B)+P\text{(C)} &=\\\ &\quad \big(P(A_1)+P(AB)+P(AC)+P(ABC)\big)\\\ &\quad +\big(P(B_1)+P(AB)+P(BC)+P(ABC)\big)\\\ &\quad +\big(P(C_1)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)\big). \end{aligned}
Agrupando coeficientes por cada região obtemos:
\begin{aligned} P(A)+P(B)+P\text{(C)} &= P(A_1)+P(B_1)+P(C_1) \\\ &\quad + 2P(AB)+2P(AC)+2P(BC) \\\ &\quad + 3P(ABC). \end{aligned}
Agora subtraio P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C), usando as expressões do passo 5:
\begin{aligned} &P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)\\\ &\quad= \big(P(AB)+P(ABC)\big)+\big(P(AC)+P(ABC)\big)+\big(P(BC)+P(ABC)\big)\\\ &\quad= P(AB)+P(AC)+P(BC) + 3P(ABC). \end{aligned}
Portanto
\begin{aligned} &P(A)+P(B)+P\text{(C)}\\\ &\quad -\big(P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)\big)\\\ &= \big(P(A_1)+P(B_1)+P(C_1)\big) \\\ &\quad + \big(2P(AB)+2P(AC)+2P(BC)\big) + 3P(ABC)\\\ &\quad -\big(P(AB)+P(AC)+P(BC) + 3P(ABC)\big). \end{aligned}
Agora realizo as subtrações termo a termo:
\begin{aligned} &= P(A_1)+P(B_1)+P(C_1) \\\ &\quad + \big(2P(AB)-P(AB)\big) + \big(2P(AC)-P(AC)\big) + \big(2P(BC)-P(BC)\big) \\\ &\quad + \big(3P(ABC)-3P(ABC)\big)\\[4pt] &= P(A_1)+P(B_1)+P(C_1)+P(AB)+P(AC)+P(BC)+0. \end{aligned}]

Passo 7

Comparando com o resultado do Passo 3, vemos que o lado direito que acabamos de obter é exatamente P(A\cup B\cup C):
P(A\cup B\cup C)=P(A_1)+P(B_1)+P(C_1)+P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC).
E o cálculo do Passo 6 mostrou que
P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)
é igual a essa mesma soma. Logo a igualdade do enunciado está verificada.

Resposta

P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C).

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