Verifique: Se
e
são três eventos quaisquer, então
Passo 1
O enunciado dá três eventos quaisquer
,
e
e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
, e são eventos (subconjuntos do espaço amostral) e é uma probabilidade que satisfaz os axiomas (em particular, aditividade finita para conjuntos disjuntos). - A expressão envolve probabilidades de uniões e interseções simples (par e trípla).
A partir daqui vamos provar a igualdade passo a passo, usando decomposição em regiões disjuntas e a aditividade da probabilidade.
Passo 2
Vou decompor o conjunto
em sete partes disjuntas (essas partes são as sete regiões clássicas da figura de Venn para três conjuntos). Defino as seguintes partes (cada uma representa exatamente uma das regiões de Venn):
Explicando em linguagem simples:
é a parte que pertence só a
;
é a parte que pertence a
e
mas não a
; e
é a parte comum aos três. Cada um desses sete conjuntos é disjunto dos outros, e a união dos sete dá exatamente
.]
Passo 3
Pela aditividade da probabilidade sobre conjuntos disjuntos (axioma: se
são disjuntos então
), temos
Isso é intuitivo: a probabilidade da união é a soma das probabilidades de cada região não sobreposta.
Passo 4
Agora escrevo
,
e
em termos dessas mesmas regiões, lembrando que
é a união disjunta de
,
,
e
:
Aqui usei novamente que as partes são disjuntas ao decompor cada evento.]
Passo 5
Escrevo também as probabilidades das interseções de pares em termos das regiões:
Cada interseção par contém a parte dupla exclusiva e também a parte tripla
.]
Passo 6
Faço a combinação proposta no enunciado: somo
e subtraio
. Substituo as expressões dos passos anteriores e organizo os termos por região.
Primeiro, some
:
Agrupando coeficientes por cada região obtemos:
Agora subtraio
, usando as expressões do passo 5:
Portanto
Agora realizo as subtrações termo a termo:
Passo 7
Comparando com o resultado do Passo 3, vemos que o lado direito que acabamos de obter é exatamente
:
E o cálculo do Passo 6 mostrou que
é igual a essa mesma soma. Logo a igualdade do enunciado está verificada.