Um pião gira com aceleração angular α(t)=5,000 t^{3}-4,000 t, onde t está em segundos e a aceleração angular em rad / s^{2}. Em t=2,00 s a velocidade angular do pião é 17,00 rad / s e uma reta de referencia traçada no pião está na posição angular 14,67 rad.
Qual a velocidade angular do disco no tempo 9,4 s?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A aceleração angular é \alpha(t)=5{,}000\,t^{3}-4{,}000\,t, com t em segundos e \alpha em \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Em t=2{,}00\\ \mathrm{s} a velocidade angular é \omega(2{,}00\\ \mathrm{s})=17{,}00\\ \mathrm{rad/s}.
  • Em t=2{,}00\\ \mathrm{s} a posição angular (não necessária para esta pergunta) é \theta(2{,}00\\ \mathrm{s})=14{,}67\\ \mathrm{rad}.
  • O que se pede: encontrar a velocidade angular do pião em t=9{,}4\\ \mathrm{s}.
Observação de interpretação dos números: os valores escritos com vírgula como em 5{,}000 e 4{,}000 serão interpretados como separador decimal (formato brasileiro). Assim, vou trabalhar com
\alpha(t)=5\,t^{3}-4\,t.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • A aceleração angular \alpha(t) é a derivada da velocidade angular \omega(t) em relação ao tempo:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Isto significa que \omega(t) é uma primitiva (antiderivada) de \alpha(t). Em termos de integral definida, para dois instantes t_0 e t:
\omega(t)=\omega(t_0)+\int_{t_0}^{t}\alpha(s)\,ds.
Aqui \omega(t_0) é a condição inicial conhecida (no problema \omega(2{,}00\\ \mathrm{s})), s é a variável de integração (apenas um “nome” para o tempo dentro da integral) e \alpha(s) é a função dada. Vamos aplicar essa fórmula escolhendo t_0=2{,}00\\ \mathrm{s} porque é onde conhecemos \omega.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \alpha(t)=5t^{3}-4t.
  • Integramos termo a termo:
\int(5t^{3}-4t)\,dt =5\int t^{3}\,dt-4\int t\,dt =5\cdot\frac{t^{4}}{4}-4\cdot\frac{t^{2}}{2}.
  • Simplificando os coeficientes:
\int(5t^{3}-4t)\,dt=\frac{5}{4}t^{4}-2t^{2}.
Para facilitar notação chamo a primitiva de F(t)=\dfrac{5}{4}t^{4}-2t^{2}. Então, usando a integral definida,
\omega(9{,}4)=\omega(2{,}00)+\bigl(F(9{,}4)-F(2{,}00)\bigr).

Passo 4

Calcular F(9{,}4) e F(2{,}00) passo a passo (contas manuais claras).
  • Primeiro potências:
9{,}4^{2}=88{,}36,\qquad 9{,}4^{4}=(9{,}4^{2})^{2}=88{,}36^{2}=7\,807{,}4896.
2{,}00^{2}=4,\qquad 2{,}00^{4}=16.
  • Agora F(9{,}4):
F(9{,}4)=\frac{5}{4}\cdot 9{,}4^{4}-2\cdot 9{,}4^{2} =\frac{5}{4}\cdot 7\,807{,}4896 -2\cdot 88{,}36.
Calculemos cada termo:
\frac{5}{4}\cdot 7\,807{,}4896 =1{,}25\cdot 7\,807{,}4896 =9\,759{,}3620,
2\cdot 88{,}36 =176{,}72.
Logo
F(9{,}4)=9\,759{,}3620-176{,}72=9\,582{,}6420.
  • Agora F(2{,}00):
F(2{,}00)=\frac{5}{4}\cdot 16 -2\cdot 4 =20-8=12.

Passo 5

Calcular a variação de velocidade e a velocidade no instante pedido.
  • Variação de \omega entre 2{,}00 e 9{,}4:
\Delta\omega=F(9{,}4)-F(2{,}00)=9\,582{,}6420-12=9\,570{,}6420.
  • Somando a condição inicial \omega(2{,}00)=17{,}00:
\omega(9{,}4)=17{,}00+9\,570{,}6420=9\,587{,}6420\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando com duas casas decimais (padronização comum em problemas deste tipo):
\omega(9{,}4)\approx 9\,587{,}64\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

\omega(9{,}4)=9\,587{,}64\\ \mathrm{rad/s}

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