Um vagão-prancha está inicialmente parado sobre os trilhos, onde pode se deslocar sem atrito. Um rapaz, que inicialmente estava parado sobre o piso do vagão, resolve correr e saltar para o solo. Em sua arremetida o rapaz percorre uma distância de
e atinge a velocidade final de
em relação ao vagão. Ele salta fazendo um ângulo de
com o piso do vagão e alinhado com a direção dos trilhos. A massa do rapaz é 60
e a do vagão
, considere que o rapaz salta de uma altura
. Determine:
a) a velocidade do vagão, em relação aos trilhos, após o salto do rapaz; (
)
b) a distância entre o vagão e o rapaz no instante em que ele atinge o solo. (
)
a) a velocidade do vagão, em relação aos trilhos, após o salto do rapaz; (
b) a distância entre o vagão e o rapaz no instante em que ele atinge o solo. (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Informações fornecidas:
- A massa do rapaz é
. - A massa do vagão é
. - O rapaz corre e, no instante do salto, tem velocidade relativa ao vagão
(sentido para frente, alinhado com os trilhos). - O salto é horizontal (ângulo
em relação ao piso do vagão). - O salto parte de uma altura
acima do solo. - O sistema (rapaz + vagão) estava inicialmente em repouso em relação aos trilhos.
- Não há atrito entre vagão e trilhos (portanto força horizontal externa desprezível durante o impulso do salto).
- A massa do rapaz é
- O enunciado pede:
- (a) a velocidade do vagão, em relação aos trilhos, imediatamente após o salto do rapaz;
- (b) a distância entre o vagão e o rapaz no instante em que ele atinge o solo.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar para (a): conservação do momento linear horizontal do sistema rapaz + vagão no instante do salto.
Explicação didática do conceito:
- Se não há forças horizontais externas atuando no sistema (ou elas são desprezíveis durante o curto impulso), o momento linear total na direção horizontal é conservado.
- O momento linear de um corpo é
, onde é a massa e a velocidade na direção considerada. - Aqui o sistema inicial está em repouso, portanto o momento inicial é
. Logo, o somatório dos momentos após o salto também deve ser : onde é a velocidade horizontal do rapaz em relação ao solo (trilhos) imediatamente após o salto, e é a velocidade do vagão em relação aos trilhos (sinal pode ser negativo se for para trás). - Relação entre velocidades: a velocidade do rapaz em relação ao solo é a soma da velocidade do vagão (em relação ao solo) com a velocidade do rapaz em relação ao vagão:
- Substituindo na conservação do momento:
- Agora vamos isolar
simbolicamente antes de substituir números.
Passo 3
Resolvendo a equação para
:
Agora substituímos os valores numéricos:
,
,
.
Arredondando com 2 algarismos relevantes:
.
Comentário prático: o sinal negativo indica que o vagão vai para trás (direção oposta ao movimento do rapaz), o que faz sentido intuitivamente — ao empurrar para frente, o rapaz empurra o vagão para trás.
Comentário prático: o sinal negativo indica que o vagão vai para trás (direção oposta ao movimento do rapaz), o que faz sentido intuitivamente — ao empurrar para frente, o rapaz empurra o vagão para trás.
Passo 4
Agora vamos para (b): determinar a distância entre vagão e rapaz quando o rapaz atinge o solo.
Primeiro passo para isso é achar o tempo que o rapaz leva a cair de altura
. Como o salto é horizontal, a componente vertical inicial da velocidade do rapaz é zero. A queda vertical é movimento uniformemente acelerado com aceleração
para baixo. A equação do deslocamento vertical é
Aqui tomamos
,
, e o solo é
. Assim para achar o tempo de queda
resolvemos
Usando
,
Passo 5
Agora precisamos da distância horizontal entre o vagão e o rapaz no tempo
.
Duas maneiras de ver isso (dou as duas porque ajudam na prova):
Método rápido (cancelamento elegante):
- A velocidade horizontal do rapaz em relação ao solo logo após o salto é
- A velocidade horizontal do vagão é
. - A velocidade relativa entre rapaz e vagão (rapaz visto do vagão) é
Ou seja, a velocidade relativa horizontal entre rapaz e vagão imediatamente após o salto é exatamente . Como ambos (rapaz e vagão) têm velocidades constantes horizontalmente durante o voo (não há forças horizontais), essa velocidade relativa permanece constante durante toda a queda. - Portanto a separação horizontal
após tempo é simplesmente
Método explícito (para checar números):
- Calculando
numericamente: - Vagão:
. - Diferença:
(confirma o cancelamento). - Logo,
Arredondando com dois algarismos significativos:
.
Observação intuitiva: apesar do vagão recuar, o rapaz foi lançado a
em relação ao vagão no instante do salto, e como depois não há forças horizontais que mudem essas velocidades, a separação cresce exatamente à razão de
.