Um vagão-prancha está inicialmente parado sobre os trilhos, onde pode se deslocar sem atrito. Um rapaz, que inicialmente estava parado sobre o piso do vagão, resolve correr e saltar para o solo. Em sua arremetida o rapaz percorre uma distância de 6,0 \mathrm{~m} e atinge a velocidade final de 6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao vagão. Ele salta fazendo um ângulo de 0^{0} com o piso do vagão e alinhado com a direção dos trilhos. A massa do rapaz é 60 k g e a do vagão 600 k g, considere que o rapaz salta de uma altura 1,25 m. Determine:
a) a velocidade do vagão, em relação aos trilhos, após o salto do rapaz; ( -0,55 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
b) a distância entre o vagão e o rapaz no instante em que ele atinge o solo. ( 3,0 \mathrm{~m} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Informações fornecidas:
    • A massa do rapaz é m_r = 60\\ \mathrm{kg}.
    • A massa do vagão é m_v = 600\\ \mathrm{kg}.
    • O rapaz corre e, no instante do salto, tem velocidade relativa ao vagão v_{\text{rel}} = 6{,}0\\ \mathrm{m/s} (sentido para frente, alinhado com os trilhos).
    • O salto é horizontal (ângulo 0^\circ em relação ao piso do vagão).
    • O salto parte de uma altura h = 1{,}25\\ \mathrm{m} acima do solo.
    • O sistema (rapaz + vagão) estava inicialmente em repouso em relação aos trilhos.
    • Não há atrito entre vagão e trilhos (portanto força horizontal externa desprezível durante o impulso do salto).
  • O enunciado pede:
    • (a) a velocidade do vagão, em relação aos trilhos, imediatamente após o salto do rapaz;
    • (b) a distância entre o vagão e o rapaz no instante em que ele atinge o solo.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar para (a): conservação do momento linear horizontal do sistema rapaz + vagão no instante do salto.
Explicação didática do conceito:
  • Se não há forças horizontais externas atuando no sistema (ou elas são desprezíveis durante o curto impulso), o momento linear total na direção horizontal é conservado.
  • O momento linear de um corpo é p = m v, onde m é a massa e v a velocidade na direção considerada.
  • Aqui o sistema inicial está em repouso, portanto o momento inicial é 0. Logo, o somatório dos momentos após o salto também deve ser 0: m_r v_{r,\text{solo}} + m_v v_v = 0,onde v_{r,\text{solo}} é a velocidade horizontal do rapaz em relação ao solo (trilhos) imediatamente após o salto, e v_v é a velocidade do vagão em relação aos trilhos (sinal pode ser negativo se for para trás).
  • Relação entre velocidades: a velocidade do rapaz em relação ao solo é a soma da velocidade do vagão (em relação ao solo) com a velocidade do rapaz em relação ao vagão: v_{r,\text{solo}} = v_v + v_{\text{rel}}.
  • Substituindo na conservação do momento: m_r (v_v + v_{\text{rel}}) + m_v v_v = 0.
  • Agora vamos isolar v_v simbolicamente antes de substituir números.

Passo 3

Resolvendo a equação para v_v:
m_r v_v + m_r v_{\text{rel}} + m_v v_v = 0
(m_r + m_v) v_v = - m_r v_{\text{rel}}
v_v = -\dfrac{m_r v_{\text{rel}}}{m_r + m_v}.
Agora substituímos os valores numéricos: m_r = 60\\ \mathrm{kg}, m_v = 600\\ \mathrm{kg}, v_{\text{rel}} = 6{,}0\\ \mathrm{m/s}.
v_v = -\dfrac{60 \times 6{,}0}{60 + 600} = -\dfrac{360}{660} = -0{,}54545\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com 2 algarismos relevantes: v_v \approx -0{,}55\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: o sinal negativo indica que o vagão vai para trás (direção oposta ao movimento do rapaz), o que faz sentido intuitivamente — ao empurrar para frente, o rapaz empurra o vagão para trás.

Passo 4

Agora vamos para (b): determinar a distância entre vagão e rapaz quando o rapaz atinge o solo.
Primeiro passo para isso é achar o tempo que o rapaz leva a cair de altura h = 1{,}25\\ \mathrm{m}. Como o salto é horizontal, a componente vertical inicial da velocidade do rapaz é zero. A queda vertical é movimento uniformemente acelerado com aceleração g para baixo. A equação do deslocamento vertical é
y(t) = y_0 + v_{y0} t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Aqui tomamos y_0 = h, v_{y0} = 0, e o solo é y=0. Assim para achar o tempo de queda t resolvemos
0 = h - \tfrac{1}{2} g t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Usando g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
t = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}25}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{2{,}5}{9{,}8}} \approx \sqrt{0{,}255102} \approx 0{,}50507\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora precisamos da distância horizontal entre o vagão e o rapaz no tempo t.
Duas maneiras de ver isso (dou as duas porque ajudam na prova):
Método rápido (cancelamento elegante):
  • A velocidade horizontal do rapaz em relação ao solo logo após o salto é v_{r,\text{solo}} = v_v + v_{\text{rel}}.
  • A velocidade horizontal do vagão é v_v.
  • A velocidade relativa entre rapaz e vagão (rapaz visto do vagão) é v_{r\text{ relative to }v} = v_{r,\text{solo}} - v_v = (v_v + v_{\text{rel}}) - v_v = v_{\text{rel}}.Ou seja, a velocidade relativa horizontal entre rapaz e vagão imediatamente após o salto é exatamente 6{,}0\\ \mathrm{m/s}. Como ambos (rapaz e vagão) têm velocidades constantes horizontalmente durante o voo (não há forças horizontais), essa velocidade relativa permanece constante durante toda a queda.
  • Portanto a separação horizontal \Delta x após tempo t é simplesmente \Delta x = v_{\text{rel}} \, t.
Método explícito (para checar números):
  • Calculando v_{r,\text{solo}} numericamente: v_{r,\text{solo}} = v_v + v_{\text{rel}} \approx -0{,}54545 + 6{,}0 = 5{,}45455\\ \mathrm{m/s}.
  • Vagão: v_v \approx -0{,}54545\\ \mathrm{m/s}.
  • Diferença: 5{,}45455 - (-0{,}54545) = 6{,}0\\ \mathrm{m/s} (confirma o cancelamento).
  • Logo, \Delta x = 6{,}0 \times 0{,}50507 \approx 3{,}0304\\ \mathrm{m}.
Arredondando com dois algarismos significativos: \Delta x \approx 3{,}0\\ \mathrm{m}.
Observação intuitiva: apesar do vagão recuar, o rapaz foi lançado a 6{,}0\\ \mathrm{m/s} em relação ao vagão no instante do salto, e como depois não há forças horizontais que mudem essas velocidades, a separação cresce exatamente à razão de 6{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_v = -0{,}55\\ \mathrm{m/s}
\Delta x = 3{,}0\\ \mathrm{m}

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