O piloto de uma aeronave deseja chegar a um destino a leste da sua posição inicial. A velocidade da aeronave em relação ao ar é igual a 420 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e faz um ângulo \Theta ao sul do leste , isto é, \Theta é medido no sentido horário em relação ao eixo oeste-leste . A velocidade do vento em relação ao solo é 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e faz um ângulo de 37^{\circ} com norte e 53^{\circ} com oeste.
Calcule:(a) o módulo da velocidade da aeronave em relação ao solo (b) e o valor do ângulo \Theta. (c) Faça um diagrama vetorial mostrando a relação entre as velocidades.

Passo 1

O piloto quer que a velocidade resultante em relação ao solo aponte exatamente para leste, ou seja, sem componente norte-sul. Sabemos que a velocidade da aeronave em relação ao ar tem módulo 420, \mathrm{km/h} e direção “ \Theta ao sul do leste” (medido no sentido horário a partir de leste). O vento tem velocidade em relação ao solo de 72, \mathrm{km/h} e direção no quadrante noroeste, formando ângulo de 37^\circ a partir do eixo norte em direção ao oeste. Vamos usar soma vetorial
\vec v_{\rm solo} \;=\;\vec v_{\rm ar} + \vec v_{\rm vento}
e impor que a componente norte-sul de \vec v_{\rm solo} seja zero.

Passo 2

Escolhemos eixos cartesianos: x-positiva para leste e y-positiva para norte.
A decomposição do vento em componentes é
v_{x,\rm vento} = -\,72\sin(37^\circ), \quad v_{y,\rm vento} = +\,72\cos(37^\circ),
pois o vento aponta para o noroeste.
A aeronave, com módulo 420, faz ângulo \Theta no sentido horário a partir de leste, logo
v_{x,\rm ar} = 420\cos\Theta, \quad v_{y,\rm ar} = -\,420\sin\Theta.

Passo 3

Para que o resultado seja exatamente para leste, requeremos
v_{y,\rm solo} = v_{y,\rm ar} + v_{y,\rm vento} = 0 \;\Longrightarrow\; -420\sin\Theta + 72\cos(37^\circ) = 0.
Logo
\sin\Theta = \frac{72\cos(37^\circ)}{420} \approx \frac{72\cdot0,7986}{420}\approx0,1369,
\Theta = \arcsin(0,1369)\approx7{,}87^\circ.

Passo 4

A componente leste da velocidade em relação ao solo é
v_{x,\rm solo} = v_{x,\rm ar} + v_{x,\rm vento} = 420\cos\Theta \;-\;72\sin(37^\circ).
Numericamente, com \cos(7{,}87^\circ)\approx0,9906 e \sin(37^\circ)\approx0,6018,
v_{x,\rm solo}\approx 420\cdot0,9906 - 72\cdot0,6018 \approx 371{,}7\;\mathrm{km/h}.
Como v_{y,\rm solo}=0, o módulo da velocidade em relação ao solo é
\bigl|\vec v_{\rm solo}\bigr| = 371{,}7\;\mathrm{km/h}.

Passo 5

Diagrama vetorial (soma em ponta de flecha):
Comece em O. Desenhe de O a A o vetor \vec v_{\rm ar} de módulo 420 a \Theta=7{,}87^\circ ao sul de leste. De A a B desenhe o vetor \vec v_{\rm vento} de módulo 72 num ângulo de 37^\circ a oeste do norte. A reta de O a B é o vetor resultante \vec v_{\rm solo}, apontando para leste com módulo 371{,}7, \mathrm{km/h}.

Resposta

(a) 371{,}7, \mathrm{km/h}
(b) 7{,}87^\circ ao sul de leste
(c) vetor \vec v_{\rm solo}=\vec v_{\rm ar}+\vec v_{\rm vento} conforme descrito no diagrama acima.

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