Uma piscina redonda de mil litros cheia d’água na altura
tem um furo próximo de sua base pelo qual sai um filete de água com
. O furo, na verdade, tem uma área um pouco maior do que esta. (a) Qual é a velocidade
da água que sai pelo furo? (b) Encontre como a altura da água na piscina
varia no tempo, i.e., uma equação diferencial para
em função de
. (c) Verifique se
é solução da equação diferencial e encontre
e
. (d) Quanto tempo a piscina cheia idealmente demoraria para esvaziar, talvez em horas? (e) Como esse tempo muda se o furo dobrar de tamanho?
Passo 1
O enunciado descreve uma piscina cilíndrica de capacidade total
L (isto é, volume inicial
) cheia até altura inicial
m. Há um furo junto à base, cujo jato contraído tem área
.
Conteúdo: aplicação da lei de Torricelli e conservação de massa (equação de continuidade). Vamos precisar de e da relação entre
e
.
Conteúdo: aplicação da lei de Torricelli e conservação de massa (equação de continuidade). Vamos precisar de
Passo 2
(a) A lei de Torricelli para velocidade de saída é
Substituindo
m/
e
m,
Passo 3
(b) O volume da piscina é
. Como
em
m, temos
A vazão é
. A conservação de massa dá
logo
Passo 4
(c) Testamos a forma
. Então
Isso deve igualar
. Igualando expoentes:
Igualando coeficientes em
:
Passo 5
(d) O tempo de esvaziamento
vem de
, ou seja
. Logo
Como
e
,
que dá cerca de
h (
dias).
Passo 6
(e) Se a área do furo dobra (
), vemos pela fórmula de
que
. Então o tempo cai pela metade:
Resposta
(a)
m/s.
(b) , com
.
(c) com
.
(d) h.
(e) Ao dobrar , o tempo fica metade, isto é,
h.
(b)
(c)
(d)
(e) Ao dobrar