Uma piscina redonda de mil litros cheia d’água na altura h0=50 cm tem um furo próximo de sua base pelo qual sai um filete de água com A2=1,0 mm^2. O furo, na verdade, tem uma área um pouco maior do que esta. (a) Qual é a velocidade v2 da água que sai pelo furo? (b) Encontre como a altura da água na piscina h varia no tempo, i.e., uma equação diferencial para d h / d t em função de h. (c) Verifique se h=(h0-c t)^n é solução da equação diferencial e encontre c e n. (d) Quanto tempo a piscina cheia idealmente demoraria para esvaziar, talvez em horas? (e) Como esse tempo muda se o furo dobrar de tamanho?

Passo 1

O enunciado descreve uma piscina cilíndrica de capacidade total 1000 L (isto é, volume inicial V0=1,0 m^3) cheia até altura inicial h0=0,50 m. Há um furo junto à base, cujo jato contraído tem área A2=1,0times10^-6 m^2.
Conteúdo: aplicação da lei de Torricelli e conservação de massa (equação de continuidade). Vamos precisar de v=raiz2gh e da relação entre dot V e dot h.

Passo 2

(a) A lei de Torricelli para velocidade de saída é
v2=raiz2g,h0
Substituindo g=9,8 m/ s^2 e h0=0,50 m,
v2=raiz2cdot9,8cdot0,50=raiz9,8approx3,13 m/s

Passo 3

(b) O volume da piscina é V=A1,h. Como V0=1,0 m^3 em h0=0,50 m, temos
A1=V0h0=1,00,50=2,0 m^2
A vazão é Q=A2,v2=A2raiz2gh. A conservação de massa dá
dVdt=A1dhdt=-Q=-A2raiz2g,h,
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dhdt=-A2A1,raiz2g,raizh

Passo 4

(c) Testamos a forma h=(h0 - c,t)^n. Então
dhdt=-n,c,(h0-c,t)^,n-1=-n,c,h^n-1n
Isso deve igualar -A2A1raiz2g,h^1/2. Igualando expoentes:
n-1n=tfrac12Longrightarrow n=2
Igualando coeficientes em h^1/2:
n,c=2,c=A2A1raiz2gLongrightarrow c=A22A1raiz2g

Passo 5

(d) O tempo de esvaziamento te vem de h(te)=0, ou seja h0-c,te=0. Logo
te=h0c =h0(A2/2A1)raiz2g =2A1,h0A2,1raiz2g =A1h0A2raiz2g
Como A1h0=V0=1,0 m^3 e A2=1,0times10^-6 m^2,
te =1,01cdot10^-6raiz29,8 =10^6times0,4517approx4,52times10^5 s,
que dá cerca de 4,52times10^5/3600approx125,5 h ( approx5,2 dias).

Passo 6

(e) Se a área do furo dobra ( A2'!=2A2), vemos pela fórmula de te que tepropto1/A2. Então o tempo cai pela metade:
te'=te2approx62,8 h

Resposta

(a) v2=raiz2g,h0approx3,13 m/s.
(b) dhdt=-A2A1raiz2g,raizh, com A1=2,0 m^2.
(c) h=(h0 - c,t)^2 com c=dfracA22A1raiz2g.
(d) te=dfracA1h0A2raiztfrac2gapprox125,5 h.
(e) Ao dobrar A2, o tempo fica metade, isto é, approx62,8 h.

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