Resolva as seguintes recorrências lineares de
ordem.
x_{n+1}=4 x_{n}-3 e
x_{n+1}=4 x_{n}-3 e
Passo 1
O enunciado apresenta uma recorrência linear de primeira ordem não homogênea
com condição inicial
. Para resolver, vamos usar o método geral para recorrências lineares de 1ª ordem: achar a solução da parte homogênea e uma solução particular, depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
A parte homogênea é
Essa recorrência tem solução da forma
onde
é constante a determinar.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
da recorrência completa, tentamos uma constante
. Substituindo em
e impondo
, obtemos
Logo, uma solução particular é
.
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral: