Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
x_{n+1}=4 x_{n}-3 e x_{1}=3

Passo 1

O enunciado apresenta uma recorrência linear de primeira ordem não homogênea
x_{n+1} = 4\,x_{n} - 3
com condição inicial x_{1}=3. Para resolver, vamos usar o método geral para recorrências lineares de 1ª ordem: achar a solução da parte homogênea e uma solução particular, depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

A parte homogênea é
x_{n+1}^{(h)} = 4\,x_{n}^{(h)}.
Essa recorrência tem solução da forma
x_{n}^{(h)} = C \,4^{\,n-1},
onde C é constante a determinar.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular x_{n}^{(p)} da recorrência completa, tentamos uma constante A. Substituindo em
x_{n+1}=4\,x_{n}-3
e impondo x_{n}=A, obtemos
A = 4\,A - 3
\Rightarrow -3A = -3
\Rightarrow A = 1.
Logo, uma solução particular é x_{n}^{(p)}=1.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x_{n} = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = C\,4^{\,n-1} + 1.

Passo 5

Usamos a condição inicial x_{1}=3. Substituindo n=1 na solução geral:
x_{1} = C\,4^{\,0} + 1 = C + 1 = 3
\Rightarrow C = 2.

Resposta

x_{n} = 2\cdot 4^{\,n-1} + 1.

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