Uma placa de circuitos eletrônicos plana de 0,3 \mathrm{~m} \times 0,3 \mathrm{~m} dissipa 20 W . Será colocada em operação em uma superfície isolada posicionada horizontalmente ou com um ângulo de inclinação de 45^{\circ} em relação à horizontal. Nos dois casos, a placa estará no ar estático a 25^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a temperatura máxima permissível do circuito para que ele funcione adequadamente é 60^{\circ} \mathrm{C}, determine se as duas instalações propostas são seguras.

Passo 1

O enunciado nos dá uma placa de circuito de dimensões 0,3\\ \mathrm{m}\times0,3\\ \mathrm{m} que dissipa 20\\ \mathrm{W}. Ela ficará apoiada sobre uma superfície isolada, de modo que só um lado (área A=0,3\times0,3=0,09\\ \mathrm{m}^2) troca calor por convecção natural com o ar estático a T_\infty=25{^\circ\mathrm C}. Queremos saber se, nas posições (a) horizontal e (b) inclinada em 45{^\circ}, a temperatura de superfície T_s fica abaixo do máximo permitido 60{^\circ\mathrm C}.
Conteúdo: convecção natural de um plano aquecido, uso de correlações do tipo
\mathrm{Nu}_L=C\,\mathrm{Ra}_L^n,\quad q=h\,A\,(T_s-T_\infty),\quad h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}.

Passo 2

Estimamos as propriedades do ar no filme térmico
T_{\rm film}=\frac{T_s+T_\infty}{2}\approx\frac{60+25}{2}=42{,}5{^\circ\mathrm C}\\ (315{,}5\\ \mathrm K).
Valores típicos a 315{,}5\\ \mathrm K:
\nu=1{,}65\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm s,
\alpha=2{,}17\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm s,
\beta=1/T_{\rm film}=0{,}00317\\ \mathrm K^{-1},
k=0{,}027\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm K),
\mathrm{Pr}=\nu/\alpha\approx0{,}76.

Passo 3

Para a placa horizontal (superfície quente voltada para cima, condição instável), usamos para
10^5<\mathrm{Ra}_L<10^7 a correlação
\mathrm{Nu}_L=0{,}54\,\mathrm{Ra}_L^{1/4},\quad \mathrm{Ra}_L=\frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha},
com L=0,3\\ \mathrm m. Logo
h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L} =0{,}54\frac{k}{L}\Bigl(\frac{g\,\beta\,L^3}{\nu\,\alpha}\Bigr)^{1/4}(T_s-T_\infty)^{1/4}.
O balanço de energia é
q=h\,A\,(T_s-T_\infty) =C_1\,(T_s-T_\infty)^{5/4},
onde
C_1=0{,}54\frac{k\,A}{L}\Bigl(\frac{g\,\beta\,L^3}{\nu\,\alpha}\Bigr)^{1/4}.

Passo 4

Calculando numericamente
\frac{g\,\beta\,L^3}{\nu\,\alpha} \approx2{,}35\times10^{6},\quad \Bigl(2{,}35\times10^{6}\Bigr)^{1/4}\approx39{,}1,
\frac{k\,A}{L}=\frac{0{,}027\times0{,}09}{0{,}3}=0{,}0081, \quad C_1=0{,}54\times0{,}0081\times39{,}1\approx0{,}1712.
Então
20=C_1\,(T_s-25)^{5/4} \\ \Rightarrow\\ (T_s-25)=\Bigl(\tfrac{20}{0{,}1712}\Bigr)^{4/5}\approx45{,}1\\ \mathrm K
\displaystyle\Rightarrow T_s\approx25+45{,}1=70{,}1{^\circ\mathrm C}.

Passo 5

Para a placa inclinada em 45{^\circ}, empregamos correlação similar válida entre 15^\circ e 90^\circ:
\mathrm{Nu}_L=0{,}56\,\mathrm{Ra}_L^{1/4},
os demais passos são idênticos ao caso horizontal, mudando apenas o fator 0{,}56 no cálculo de C_1.

Passo 6

Repetindo os cálculos com 0{,}56 em vez de 0{,}54:
C_1'=0{,}56\times0{,}0081\times39{,}1\approx0{,}1776, \quad 20=C_1'\,(T_s-25)^{5/4}
(T_s-25)=\Bigl(\tfrac{20}{0{,}1776}\Bigr)^{4/5}\approx43{,}7\\ \mathrm K \quad\Rightarrow\quad T_s\approx25+43{,}7=68{,}7{^\circ\mathrm C}.

Passo 7

Em ambos os casos encontramos
T_s\approx70{,}1{^\circ\mathrm C} (horizontal) e T_s\approx68{,}7{^\circ\mathrm C} ( 45\circ), ambas acima do limite de 60{^\circ\mathrm C}. Portanto nenhuma das instalações mantém a placa abaixo da temperatura máxima permissível.

Resposta

Nenhuma das duas instalações é segura, pois em ambos os casos a temperatura de superfície excede 60{^\circ\mathrm C}.

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