Uma placa condutora infinita de espessura d é posicionada paralelamente ao plano X Z de um sistema de coordenadas, de forma que seu plano médio coincide com este plano, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade de corrente estacionária, na região interna à placa, dada por J=J0 z, onde J0 é uma constante positiva e z é o unitário da direção Z. Utilizando argumentos de simetria e/ou de eletromagnetismo, determine a direção e o sentido do campo magnético produzido pela placa em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa condutora infinita com espessura $ d $, posicionada paralelamente ao plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $ de um sistema de coordenadas. O plano médio da placa coincide com o plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $. Dentro dessa placa, há uma densidade de corrente constante na direção $ Z $, dada por $ \overrightarrow{J} = J_{0} \hat{\boldsymbol{z}} $. Nosso objetivo é determinar a direção e o sentido do campo magnético que essa placa produz em todo o espaço, usando conceitos de simetria e eletromagnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma corrente elétrica produz um campo magnético ao seu redor, de acordo com a Lei de Ampère. A direção do campo magnético gerado por uma corrente uniforme pode ser determinada usando a regra da mão direita. Para isso, precisamos considerar a simetria do problema.

Passo 3

Como a placa é infinita e a densidade de corrente é uniforme na direção $ Z $, esperamos que o campo magnético produzido também tenha uma simetria específica. A simetria do sistema sugere que o campo magnético não depende da posição ao longo das direções $ X $ e $ Z $, apenas na direção $ Y $.

Passo 4

Aplicando a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado à corrente que passa por esse caminho:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa o caminho.

Passo 5

Escolhemos um caminho de amperiana retangular que se estende perpendicularmente à placa, ao longo do eixo $ Y $. Devido à simetria, o campo magnético $ \overrightarrow{B} $ terá apenas componente na direção $ Z $, e sua magnitude dependerá da posição relativa à placa.

Passo 6

Calculando a circulação do campo magnético ao redor do caminho escolhido, levando em conta as contribuições somente das faces paralelas à direção do campo:
B(Y + d/2) cdot l - B(Y - d/2) cdot l = mu0 J0 d l
onde $ l $ é o comprimento do caminho.

Passo 7

Simplificando a equação, obtemos:
B(Y + d/2) - B(Y - d/2) = mu0 J0 d
Isso mostra que o campo magnético muda de valor ao atravessar a placa, indicando a direção e o sentido do campo.

Resposta

O campo magnético produzido pela placa é paralelo ao eixo $ Z $ e circula em torno da direção da corrente. Ou seja, dentro da placa, o campo magnético aponta em uma direção determinada pela regra da mão direita em relação à corrente $ \overrightarrow{J} = J_{0} \hat{\boldsymbol{z}} $, e fora da placa, o campo decai simetricamente mantendo essa direção e sentido.

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