Uma placa condutora infinita de espessura
é posicionada paralelamente ao plano
de um sistema de coordenadas, de forma que seu plano médio coincide com este plano, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade de corrente estacionária, na região interna à placa, dada por
, onde
é uma constante positiva e
é o unitário da direção
. Utilizando argumentos de simetria e/ou de eletromagnetismo, determine a direção e o sentido do campo magnético produzido pela placa em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa condutora infinita com espessura $ d $, posicionada paralelamente ao plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $ de um sistema de coordenadas. O plano médio da placa coincide com o plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $. Dentro dessa placa, há uma densidade de corrente constante na direção $ Z $, dada por $ \overrightarrow{J} = J_{0} \hat{\boldsymbol{z}} $. Nosso objetivo é determinar a direção e o sentido do campo magnético que essa placa produz em todo o espaço, usando conceitos de simetria e eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma corrente elétrica produz um campo magnético ao seu redor, de acordo com a Lei de Ampère. A direção do campo magnético gerado por uma corrente uniforme pode ser determinada usando a regra da mão direita. Para isso, precisamos considerar a simetria do problema.
Passo 3
Como a placa é infinita e a densidade de corrente é uniforme na direção $ Z $, esperamos que o campo magnético produzido também tenha uma simetria específica. A simetria do sistema sugere que o campo magnético não depende da posição ao longo das direções $ X $ e $ Z $, apenas na direção $ Y $.
Passo 4
Aplicando a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado à corrente que passa por esse caminho:
onde $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa o caminho.
Passo 5
Escolhemos um caminho de amperiana retangular que se estende perpendicularmente à placa, ao longo do eixo $ Y $. Devido à simetria, o campo magnético $ \overrightarrow{B} $ terá apenas componente na direção $ Z $, e sua magnitude dependerá da posição relativa à placa.
Passo 6
Calculando a circulação do campo magnético ao redor do caminho escolhido, levando em conta as contribuições somente das faces paralelas à direção do campo:
onde $ l $ é o comprimento do caminho.
Passo 7
Simplificando a equação, obtemos:
Isso mostra que o campo magnético muda de valor ao atravessar a placa, indicando a direção e o sentido do campo.
Resposta
O campo magnético produzido pela placa é paralelo ao eixo $ Z $ e circula em torno da direção da corrente. Ou seja, dentro da placa, o campo magnético aponta em uma direção determinada pela regra da mão direita em relação à corrente $ \overrightarrow{J} = J_{0} \hat{\boldsymbol{z}} $, e fora da placa, o campo decai simetricamente mantendo essa direção e sentido.