Uma placa de determinado material com k=20 W / m K e alpha=7,7 * 10^-6 m^2 / s tem 30 cm de lado. Estando inicialmente a 540^circ C, ela é posta subitamente em contacto com fluido a -17,8 ^circ C com h=130 W / m^2 K em todas as faces. Determine o tempo que leva para um ponto localizado a meia distância entre o centro e a superficie resfriar até 260^circ C.

Passo 1

Temos uma placa simétrica de espessura total 0,30,m (logo metade da espessura é L=0,15,m), condutividade térmica k=20,W/ mcdot K, difusividade alpha=7,7times10^-6, m^2/s, coeficiente de convecção em ambas as faces h=130,W/ m^2 cdotK, fluido a -17,8,^circC e temperatura inicial uniforme 540,^circC. Queremos o tempo para que o ponto a meia-distância entre o centro e a face (ou seja em x/L=0,5) atinja 260,^circC. Como o número de Biot é maior que 0,1, não vale o método de aleta lumped; usaremos a solução de regime transitório para parede plana com convecção em ambas as faces.

Passo 2

Calculamos o número de Biot
Bi=h,Lk =130cdot0,1520 =0,975

Passo 3

O menor autovalor lambda1 satisfaz a equação transcendente
lambda,tanlambda=Bi
Resolvendo numericamente obtemos
lambda1approx0,852

Passo 4

Na aproximação de um termo, a solução no ponto x é
T(x,t)-TinftyTi-Tinfty =A1,cos!l(lambda1tfracxLr), exp!l(-lambda1^2,For),
com
A1 =4sinlambda12lambda1+sin(2lambda1) approx1,118,
e para x/L=0,5 e temperaturas T=260,^circC, Tinfty=-17,8,^circC, Ti=540,^circC temos a dimensão reduzida
theta^*=260-(-17,8)540-(-17,8)approx0,4983,
logo
theta^* =A1cosl(0,852cdot0,5r) ,e^-0,852^2,Fo

Passo 5

Isolando o número de Fourier Fo= alpha,t/L^2:
Fo =-1lambda1^2 ln!l(theta^*A1cos(0,852cdot0,5)r) approx0,981
Logo o tempo é
t=Fo,L^2alpha =0,981;(0,15)^27,7times10^-6 approx2,86times10^3,s approx47,7 min

Resposta

O ponto a x/L=0,5 leva aproximadamente 2,86times10^3,s (cerca de 47,7 min) para resfriar até 260,^circC.

Exercícios relacionados