Uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. A magnitude da carga ligada em cada lado da placa dielétrica é 75 \% da magnitude da carga livre em cada placa. A capacitância é 480 P_{0} / l, onde l é uma constante com dimensões de comprimento, e a carga máxima que pode ser armazenada no capacitor é \frac{240}{2 P_{0} E_{\text {max }}}, onde E_{\text {max }} é o limite de ruptura.
a) Qual é a constante dielétrica da placa?
b) Calcule a distância 1 em função dos demais dados do enunciado?
c) Qual a área das placas do capacitor em termos de 1 ?

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas completamente preenchido por um dielétrico de permitividade \varepsilon = \kappa\,P_{0}, onde P_{0} é a permissividade do vácuo e \kappa a constante dielétrica.
Diz-se que a carga ligada (a carga ligada é a carga ligada à superfície do dielétrico, ou “carga ligada de polarização”) em cada face do dielétrico tem magnitude igual a 75\% da carga livre em cada placa.
Também nos dão que
C \;=\;\frac{480\,P_{0}}{\ell},
onde \ell é a distância entre as placas, e que a carga máxima armazenável é
Q_{\max} \;=\;\frac{240}{2\,P_{0}\,E_{\max}},
onde E_{\max} é o campo máximo antes da ruptura dielétrica.
Precisaremos:
– da relação entre carga ligada (Q_{b}) e carga livre (Q) em um dielétrico,
– da fórmula de capacitância de placas paralelas com dielétrico,
– da relação Q_{\max}=C\,V_{\max} e V_{\max}=E_{\max}\,\ell.

Passo 2

Em um dielétrico homogêneo e linear, com campo E uniforme, vale
D = P_{0}\,E + P = \sigma_{\rm livre}\,, \qquad P = (\varepsilon - P_{0})\,E = (\kappa-1)\,P_{0}\,E,
e a densidade de carga ligada na superfície é
\sigma_{b}=P. Assim a razão entre carga ligada e carga livre é
\frac{Q_{b}}{Q} =\frac{\sigma_{b}}{\sigma_{\rm livre}} =\frac{(\kappa-1)\,P_{0}\,E}{\kappa\,P_{0}\,E} = \frac{\kappa-1}{\kappa}.
Como foi dito que Q_{b}/Q=0{,}75, temos
\frac{\kappa-1}{\kappa}=0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{1}{\kappa}=0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\kappa}=0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad \kappa=4.

Passo 3

A capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico \kappa P_{0} é
C = \frac{\kappa\,P_{0}\,A}{\ell}.
Mas o enunciado nos dá diretamente
C = \frac{480\,P_{0}}{\ell}.
Igualando as duas expressões e isolando \ell, obtemos
\frac{\kappa\,P_{0}\,A}{\ell} = \frac{480\,P_{0}}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad \kappa\,A = 480 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{480}{\kappa}.
Por outro lado, se o pedido é escrever \ell em função de C e P_{0}, basta inverter a expressão dada:
\ell = \frac{480\,P_{0}}{C}.

Passo 4

Do passo anterior já temos
A = \frac{480}{\kappa}.
Como \kappa=4, isso dá
A = \frac{480}{4} = 120.
Note que o valor de A sai numérico (em unidades compatíveis).

Resposta

a) \kappa = 4.
b) \displaystyle \ell = \frac{480\,P_{0}}{C}.
c) \displaystyle A = \frac{480}{\kappa} = 120.

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