Uma placa com espessura de 4 mm tem uma geração interna de calor de 200 MW / m^3 e uma condutividade térmica de 25 W / m cdot ^circ C. Um lado da placa é isolado e o outro lado é mantido a 100^circ C. Calcule a temperatura máxima na placa. Repita o problema considerando que o lado isolado está agora exposto à convecção ( Tinfty=25^circ C, h=25 W / m^2 cdot ^circ C).

Passo 1

Beleza, temos uma placa de espessura L = 4 mm com geração interna de calor d^2Tdx^2 + q'''k = 0 e condutividade . Primeiro caso: um lado (x=0) está isolado (fluxo zero) e o outro (x=L) está a . Objetivo: achar a temperatura máxima na placa. Conteúdo: condução unidimensional estacionária com geração interna, usando a equação
e aplicar condições de contorno para achar .

Passo 2

Resolver a equação diferencial:
  1. Integramos uma vez:
dTdx = -q'''k,x + C1
  1. Integramos de novo:
T(x) = -q'''2k,x^2 + C1,x + C2
Condições de contorno do primeiro caso:
  • Isolamento em x=0 → fluxo 100 = -q'''2kL^2 + C2 ;;Longrightarrow;; C2 = 100 + q''',L^22k T(x) = 100 + q'''2kl(L^2 - x^2r) .
  • Temperatura em x=L → .
Substituindo e :
Aí o perfil vira
Como é máximo em , a ocorre em .

Passo 3

Agora é só botar número:
De
Então
Tmax = 100 + 64 = 164;°C

Passo 4

Para o segundo caso, em x=0 agora há convecção para o ambiente a T(x) = -q'''2kx^2 + C1 x + C2, dTdx = -q'''kx + C1 com coeficiente . As equações gerais continuam:
Condições de contorno:
  • Em x=L: .
  • Em x=0: condição convectiva → .
Isto dá
  1. .
  2. Em x=0: .
Substituindo 2) em 1) e isolando (que é , o máximo)…

Passo 5

…chegamos a
T(0) = 100 + dfracq'''L^22k + dfrachLk,Tinfty 1 + dfrachLk
Como
Tmax = 100 + 64 + 0,004cdot251 + 0,004 = 164 + 0,11,004 approx 164,56;°C e , e ,

Resposta

Caso 1 (isolado x=0): .
Caso 2 (convecção x=0): .

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