Uma placa grande feita de aço inoxidável ASTM A240 410S, com espessura de 5 cm , faz parte de um equipamento de escoamento de fluido em alta temperatura. A placa possui condutividade térmica de 26,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, calor específico de 460 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e densidade de 7,73
\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. Ambas as superfícies da placa são ocasionalmente expostas a um fluido quente a 700^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de transferência de calor por convecção de 323 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A temperatura máxima de uso permitida para o aço inoxidável ASTM A240 410 S é de 649^{\circ} \mathrm{C} (segundo o Código ASME para tubulações de processo, ASME B31.3-2014, Tabela A-1M). Se a placa está inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}, determine por quanto tempo ela pode ser exposta ao fluido quente antes de atingir a temperatura máxima de uso. 756 s

Passo 1

O enunciado descreve uma placa de espessura total 2L = 0,05\\ \mathrm{m}, inicialmente a T_i=20^\circ\mathrm{C}, exposta de ambos os lados a um fluido a T_\infty=700^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=323\\ \mathrm{W/m^2K}. As propriedades do aço são
k = 26{,}9\\ \mathrm{W/m\cdot K},\quad c_p = 460\\ \mathrm{J/kg\cdot K},\quad \rho = 7{,}73\\ \mathrm{g/cm^3} = 7730\\ \mathrm{kg/m^3}.
Queremos o tempo até que a superfície da placa atinja T = 649^\circ\mathrm{C}. Como o número de Biot não é muito pequeno, usaremos a solução de condução transiente em um plano simétrico com convecção em ambas as faces.

Passo 2

Calcule o número de Biot usando o comprimento característico L_c = L = 0{,}025\\ \mathrm{m} (metade da espessura):
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k} = \frac{323\cdot0{,}025}{26{,}9} \approx0{,}3004.
Como \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1, não vale o método de corpos lumpados; usamos então a série de autovalores para a lâmina simétrica.

Passo 3

Na solução de um plano simétrico com convecção em x=\pm L, o autovalor \beta_1 satisfaz
\beta_1\tan\beta_1 = \mathrm{Bi}.
A primeira aproximação truncada para a temperatura da superfície (em x=L) é
\frac{T_s(t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} \approx C_1\cos(\beta_1)\,\exp\!\bigl(-\beta_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde
\mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{L^2},\quad \alpha = \frac{k}{\rho\,c_p}.

Passo 4

Calcule a difusividade térmica:
\alpha = \frac{26{,}9}{7730\cdot460} \approx7{,}566\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Determine \beta_1 resolvendo numericamente \beta\tan\beta=0{,}3004.
Uma boa aproximação é
\beta_1 \approx 0{,}520.

Passo 6

O coeficiente C_1 da série é dado por
C_1 = \frac{4\sin\beta_1}{2\,\beta_1 + \sin(2\beta_1)} \approx \frac{4\sin(0{,}520)}{2\cdot0{,}520 + \sin(1{,}040)} \approx1{,}046.

Passo 7

Para a superfície queremos T_s=649^\circ\mathrm{C}, logo
\frac{T_s - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{649 - 700}{20 - 700} = \frac{-51}{-680} =0{,}075.
Então
0{,}075 = C_1\cos(\beta_1)\,e^{-\beta_1^2\,\mathrm{Fo}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\beta_1^2\,\mathrm{Fo}} =\frac{0{,}075}{1{,}046\cos(0{,}520)} \approx0{,}0826.
Logo
\mathrm{Fo} = -\frac{1}{\beta_1^2}\ln(0{,}0826) \approx9{,}217.
Como \mathrm{Fo}=\alpha t/L^2,
t = \frac{\mathrm{Fo}\,L^2}{\alpha} = \frac{9{,}217\,(0{,}025)^2}{7{,}566\times10^{-6}} \approx7,6\times10^2\\ \mathrm{s}.

Resposta

O tempo de exposição até a superfície atingir 649^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 7{,}6\times10^2\\ \mathrm{s} (cerca de 756\\ \mathrm{s}).

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