Uma tira de aço inoxidável com 5 mm de espessura \left(\mathrm{k}=21 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \rho=8000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{e} \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=\right. 570 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) está sendo tratada termicamente enquanto se move através de um forno com velocidade de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A temperatura do ar no interior do forno é mantida a 900^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Sabendo que o comprimento do forno é de 3 metros e que a tira entra no forno a 20^{\circ} \mathrm{C}, determine o gradiente de temperatura da superfície da tira na metade do comprimento do forno. Dica: utilize a análise de sistema concentrado para calcular a temperatura da superfície da tira, e verifique se a aplicação desse método é válida neste problema. 1170 \mathrm{~K} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado descreve uma tira de aço inoxidável de espessura L=5\\ \mathrm{mm} que se move com velocidade v=1\\ \mathrm{cm/s} através de um forno de comprimento 3\\ \mathrm{m}. A temperatura do ar no forno é mantida em 900\,^{\circ}\mathrm{C} e o coeficiente de convecção é h=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. A tira entra a 20\,^{\circ}\mathrm{C}. Queremos o gradiente de temperatura na superfície da tira quando ela percorreu metade do forno. O método a usar é o de sistema concentrado (lumped capacitance), desde que o número de Biot seja pequeno.

Passo 2

Calcular o número de Biot para verificar a validade do modelo de sistema concentrado. Como a convecção ocorre nas duas faces da tira, o comprimento característico é
L_c = \frac{L}{2} = \frac{0{,}005}{2} = 0{,}0025\\ \mathrm{m}.
Logo
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k} = \frac{80 \times 0{,}0025}{21} \approx 0{,}0095 < 0{,}1,
o que confirma que podemos usar o método lumped.

Passo 3

Na análise lumped, a temperatura da tira T(t) satisfaz
\rho\,c_p\,L\,\frac{\mathrm d T}{\mathrm d t} \;=\; 2\,h\bigl(T_\infty - T\bigr),
em que \rho=8000\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=570\\ \mathrm{J/kg\cdot K} e T_\infty=900\,^{\circ}\mathrm{C}=1173\\ \mathrm{K}. O tempo que a tira leva para percorrer metade do forno é
t = \frac{1{,}5\\ \mathrm m}{0{,}01\\ \mathrm m/s} = 150\\ \mathrm s.
A solução é
T(t) = T_\infty + \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\exp\!\bigl(-t/\tau\bigr),
com
\tau = \frac{\rho\,c_p\,L}{2\,h} = \frac{8000\times570\times0{,}005}{2\times80} \approx 142{,}5\\ \mathrm s.
Assim, com T_i=20\,^{\circ}\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}, temos
T(150) =1173 + (293-1173)\,e^{-150/142{,}5} \approx 865{,}9\\ \mathrm K.

Passo 4

O fluxo de calor por unidade de área na superfície é
q'' = h\bigl(T_\infty - T(150)\bigr) = 80\,(1173 - 865{,}9) \approx 80\times307{,}1 = 24\,568\\ \mathrm{W/m^2}.
Pela lei de Fourier, o gradiente de temperatura na superfície é
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{\text{superf.}} = \frac{q''}{k} = \frac{24\,568}{21} \approx 1170\\ \mathrm{K/m}.

Resposta

O gradiente de temperatura da superfície da tira na metade do comprimento do forno é aproximadamente
1170\\ \mathrm{K/m}.

Exercícios relacionados