ZEm um terreno constituído de areia fina, o nível d’ água encontra-se a 2,50 \mathrm{~m} de profundidade. O peso específico saturado é de 21 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e a densidade das partículas de 2,67. Calcule a profundidade na qual a tensão efetiva seja igual a 130 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.(Resposta: \mathbf{1 0 , 3 m} )

Passo 1

O enunciado fala de um areião em que a lâmina d’água está a \,2{,}50\\ \mathrm{m} de profundidade. Sabemos que o peso específico saturado é \gamma_{\mathrm{sat}}=21\\ \mathrm{kN/m^3} e a densidade dos grãos é G_s=2{,}67. Queremos achar a profundidade z em que a tensão efetiva \sigma' valha 130\\ \mathrm{kN/m^2}.
Para isso vamos usar:
  1. A relação de \gamma_{\mathrm{sat}} com o índice de vazios e e \gamma_w.
  2. O cálculo de \gamma_{\mathrm{d}} (peso específico seco).
  3. A expressão da tensão efetiva, dividindo em duas camadas (até a lâmina e abaixo dela).

Passo 2

Determinar o índice de vazios e usando
\gamma_{\mathrm{sat}} =\frac{G_s + e}{1+e}\,\gamma_w.
Adotando \gamma_w=10\\ \mathrm{kN/m^3}, temos
\frac{21}{10}=\frac{2{,}67+e}{1+e} \quad\Longrightarrow\quad 2{,}1(1+e)=2{,}67+e \quad\Longrightarrow\quad 2{,}1+2{,}1e=2{,}67+e
2{,}1e - e = 2{,}67 - 2{,}1 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}1e = 0{,}57 \quad\Longrightarrow\quad e = 0{,}518.

Passo 3

Calcular o peso específico seco \gamma_d por
\gamma_d = \frac{G_s\,\gamma_w}{1+e} = \frac{2{,}67\cdot 10}{1+0{,}518} \approx 17{,}6\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 4

Escrever a tensão efetiva \sigma'(z).
  • Na zona acima da lâmina 0\le z\le 2{,}5: não há pressão d’água, então \sigma'=\gamma_d\,z.
  • Para z>2{,}5, temos peso acima da lâmina mais o acréscimo abaixo, descontada a pressão d’água:
\sigma'(z) = \gamma_d\cdot 2{,}5 + \bigl(\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w\bigr)\,(z-2{,}5).

Passo 5

Impor \sigma'(z)=130\\ \mathrm{kN/m^2} e resolver:
\gamma_d\cdot2{,}5 +(\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w)\,(z-2{,}5)=130.
Substituindo números:
17{,}6\cdot2{,}5 + (21 -10)\,(z-2{,}5) =130 \quad\Longrightarrow\quad 43{,}97 +11\,(z-2{,}5) =130
11\,(z-2{,}5)=130 -43{,}97 =86{,}03 \quad\Longrightarrow\quad z-2{,}5 = \frac{86{,}03}{11} \approx 7{,}82
z \approx 2{,}5 +7{,}82 =10{,}32\\ \mathrm{m}.

Resposta

A profundidade em que a tensão efetiva atinge 130\\ \mathrm{kN/m^2} é aproximadamente 10{,}3\\ \mathrm{m}.

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