Um solenoide semi-infinito de raio R e n voltas por unidade de comprimento carrega uma corrente I. Encontre uma expressão para o campo magnético no ponto e (s, \varphi, z)=\left(0,0, z_{0}\right). (Dica: Mostramos em sala que o campo produzido por uma única espira a uma altura z do seu centro é \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2} \frac{R^{2}}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z} (exemplo 5.6 do Griffiths). Use essa expressão e o princípio da superposição para calcular o campo solicitado. Resposta: \vec{B}=\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right) \hat{z}.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do enunciado):
Um solenoide semi-infinito de raio R e n voltas por unidade de comprimento carrega uma corrente I.
O solenoide é semi-infinito: suas espiras ocupam a região z'\in[0,\infty) (começando em z'=0 e estendendo-se para +\infty).
Pede-se o campo magnético no ponto (s,\varphi,z)=\left(0,0,z_{0}\right), ou seja, no eixo do solenoide a uma distância z_{0} do início do solenoide.
Dica fornecida: o campo produzido por uma única espira, no eixo, a uma distância z do seu centro é
O que o problema pede: encontrar uma expressão para \vec{B} em \left(0,0,z_{0}\right) para o solenoide semi-infinito.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): o solenoide é formado por muitas espiras empilhadas ao longo do eixo. Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto eixo é a soma (integral) das contribuições de todas as espiras. Cada espira tem a mesma corrente I e a densidade de espiras é n (voltas por unidade de comprimento), então em um pequeno intervalo de eixo \mathrm{d}z' há n\,\mathrm{d}z' espiras. Vamos então escrever a contribuição diferencial de um conjunto de espiras no intervalo [z',z'+\mathrm{d}z'] e integrar z' de 0 a +\infty.
Passo 3
Campo diferencial de um conjunto de espiras numa fatia \mathrm{d}z'.
Considere uma espira cujo centro está em z'. A distância axial entre o centro dessa espira e o ponto observado z_{0} é z=z_{0}-z'. Pela dica, a contribuição de UMA espira para o campo em z_{0} é
Calcular a integral indefinida. Use a primitiva conhecida (e vamos verificar rapidamente):
Procuramos F(u) tal que F'(u)=\dfrac{1}{\bigl(R^{2}+u^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para |u| grande, \sqrt{R^{2}+u^{2}}\approx |u|. Com u\to -\infty temos |u|=-u, então a razão tende a \dfrac{u}{R^{2}(-u)}=-\dfrac{1}{R^{2}}. Logo o limite inferior é -\dfrac{1}{R^{2}}.
Voltar ao campo total usando I_{\text{int}}. Substituindo na expressão do Passo 4:
\vec{B}(0,0,z_{0}) =\frac{\mu_{0} n I R^{2}}{2}\\ \hat{z}\\ \cdot \frac{1}{R^{2}}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right) =\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right)\hat{z}.
Pequena verificação física: para z_{0}\to\infty o termo adicional tende a 0 e \vec{B}\to 0 (esperado). Para z_{0}=0 (no centro da extremidade do solenoide) obtemos \vec{B}=\dfrac{\mu_{0} n I}{2}\hat{z}, que é metade do campo de um solenoide infinito \mu_{0} n I (isto também é uma checagem conhecida e faz sentido físico).
Resposta
\displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right)\hat{z}