1. Um solenoide semi-infinito de raio R e n voltas por unidade de comprimento carrega uma corrente I. Encontre uma expressão para o campo magnético no ponto e (s, \varphi, z)=\left(0,0, z_{0}\right). (Dica: Mostramos em sala que o campo produzido por uma única espira a uma altura z do seu centro é \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2} \frac{R^{2}}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z} (exemplo 5.6 do Griffiths). Use essa expressão e o princípio da superposição para calcular o campo solicitado. Resposta: \vec{B}=\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right) \hat{z}.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do enunciado):
  • Um solenoide semi-infinito de raio R e n voltas por unidade de comprimento carrega uma corrente I.
  • O solenoide é semi-infinito: suas espiras ocupam a região z'\in[0,\infty) (começando em z'=0 e estendendo-se para +\infty).
  • Pede-se o campo magnético no ponto (s,\varphi,z)=\left(0,0,z_{0}\right), ou seja, no eixo do solenoide a uma distância z_{0} do início do solenoide.
  • Dica fornecida: o campo produzido por uma única espira, no eixo, a uma distância z do seu centro é
\vec{B}_{\text{espira}}(z)=\frac{\mu_{0} I}{2}\frac{R^{2}}{\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\\ \hat{z}.
O que o problema pede: encontrar uma expressão para \vec{B} em \left(0,0,z_{0}\right) para o solenoide semi-infinito.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): o solenoide é formado por muitas espiras empilhadas ao longo do eixo. Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto eixo é a soma (integral) das contribuições de todas as espiras. Cada espira tem a mesma corrente I e a densidade de espiras é n (voltas por unidade de comprimento), então em um pequeno intervalo de eixo \mathrm{d}z' n\,\mathrm{d}z' espiras. Vamos então escrever a contribuição diferencial de um conjunto de espiras no intervalo [z',z'+\mathrm{d}z'] e integrar z' de 0 a +\infty.

Passo 3

Campo diferencial de um conjunto de espiras numa fatia \mathrm{d}z'.
  • Considere uma espira cujo centro está em z'. A distância axial entre o centro dessa espira e o ponto observado z_{0} é z=z_{0}-z'. Pela dica, a contribuição de UMA espira para o campo em z_{0} é
\mathrm{d}\vec{B}_{\text{uma espira}}=\frac{\mu_{0} I}{2}\,\frac{R^{2}}{\bigl(R^{2}+(z_{0}-z')^{2}\bigr)^{3/2}}\\ \hat{z}.
  • Em \mathrm{d}z' n\,\mathrm{d}z' espiras (cada uma com corrente I), portanto a contribuição diferencial de todas as espiras da fatia \mathrm{d}z' é
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2}\,\frac{R^{2}}{\bigl(R^{2}+(z_{0}-z')^{2}\bigr)^{3/2}}\; n\,\mathrm{d}z'\\ \hat{z}.
  • O sentido é \hat{z} (escolhendo a orientação de corrente que produz campo no sentido positivo de z no eixo); mantemos o vetor \hat{z}.

Passo 4

Integral para o campo total: somamos (integramos) todas as fatias de z'=0 até z'=\infty:
\vec{B}(0,0,z_{0})=\frac{\mu_{0} n I R^{2}}{2}\\ \hat{z}\\ \int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{\bigl(R^{2}+(z_{0}-z')^{2}\bigr)^{3/2}}.
Agora resta calcular a integral
I_{\text{int}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{\bigl(R^{2}+(z_{0}-z')^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Mudar variável para simplificar a integral. Faça u=z_{0}-z'. Então \mathrm{d}u=-\mathrm{d}z'. Os limites transformam-se assim:
  • quando z'=0 temos u=z_{0};
  • quando z'\to\infty temos u\to -\infty.
Substituindo:
I_{\text{int}}=\int_{z'=0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{\bigl(R^{2}+(z_{0}-z')^{2}\bigr)^{3/2}} =\int_{u=z_{0}}^{-\,\infty}\frac{-\mathrm{d}u}{\bigl(R^{2}+u^{2}\bigr)^{3/2}} =\int_{u=-\infty}^{z_{0}}\frac{\mathrm{d}u}{\bigl(R^{2}+u^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Calcular a integral indefinida. Use a primitiva conhecida (e vamos verificar rapidamente):
Procuramos F(u) tal que F'(u)=\dfrac{1}{\bigl(R^{2}+u^{2}\bigr)^{3/2}}.
Tente a função
F(u)=\frac{u}{R^{2}\sqrt{R^{2}+u^{2}}}.
Vamos derivar F(u) para checar:
F'(u)=\frac{1}{R^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{R^{2}+u^{2}}}-\frac{u^{2}}{(R^{2}+u^{2})^{3/2}}\right) =\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{R^{2}}{(R^{2}+u^{2})^{3/2}} =\frac{1}{(R^{2}+u^{2})^{3/2}}.
Portanto a primitiva está correta. Logo a integral definida vale
I_{\text{int}}=\left[\frac{u}{R^{2}\sqrt{R^{2}+u^{2}}}\right]_{u=-\infty}^{u=z_{0}}.

Passo 7

Avaliar os limites da primitiva.
  • No limite superior u=z_{0} obtemos
\frac{z_{0}}{R^{2}\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}.
  • No limite inferior u\to -\infty avaliamos
\lim_{u\to -\infty}\frac{u}{R^{2}\sqrt{R^{2}+u^{2}}}.
Para |u| grande, \sqrt{R^{2}+u^{2}}\approx |u|. Com u\to -\infty temos |u|=-u, então a razão tende a \dfrac{u}{R^{2}(-u)}=-\dfrac{1}{R^{2}}. Logo o limite inferior é -\dfrac{1}{R^{2}}.
Subtraindo:
I_{\text{int}}=\frac{z_{0}}{R^{2}\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}-\left(-\frac{1}{R^{2}}\right) =\frac{1}{R^{2}}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right).

Passo 8

Voltar ao campo total usando I_{\text{int}}. Substituindo na expressão do Passo 4:
\vec{B}(0,0,z_{0}) =\frac{\mu_{0} n I R^{2}}{2}\\ \hat{z}\\ \cdot \frac{1}{R^{2}}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right) =\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right)\hat{z}.
Pequena verificação física: para z_{0}\to\infty o termo adicional tende a 0 e \vec{B}\to 0 (esperado). Para z_{0}=0 (no centro da extremidade do solenoide) obtemos \vec{B}=\dfrac{\mu_{0} n I}{2}\hat{z}, que é metade do campo de um solenoide infinito \mu_{0} n I (isto também é uma checagem conhecida e faz sentido físico).

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(1+\frac{z_{0}}{\sqrt{R^{2}+z_{0}^{2}}}\right)\hat{z}

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