Uma placa plana de alumínio ( k=175 \mathrm{Kcal} / h.m. { }^{\circ} \mathrm{C} ) de resistência térmica desprezível tem aletas retangulares de 1,5 \mathrm{~mm} de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm , ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de película 25 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. No lado sem aletas escoa óleo a 150^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de película 225 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule por unidade de área da placa:
a) Fluxo de calor pela placa aletada desprezando a resistência da película de óleo;
b) Idem item anterior levando em conta a resistência a convecção na película de óleo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma placa de alumínio com aletas retangulares de espessura t=1{,}5\\ \mathrm{mm}, altura H=12\\ \mathrm{mm} e espaçamento entre aletas S=12\\ \mathrm{mm}. Do lado das aletas convecte ar a T_{\infty,\text{ar}}=40\,^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente h_{\text{ar}}=25\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}). Do outro lado está óleo a T_{\infty,\text{óleo}}=150\,^{\circ}\mathrm{C}ó e h_{\text{óleo}}=225\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})ó. A condutividade do alumínio é k=175\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e a resistência térmica da placa base é desprezível. Vamos calcular, por unidade de área da placa base ( 1\\ \mathrm{m}^2 ), o fluxo de calor:
a) desprezando a resistência da película de óleo (isto é, temperatura da placa igual a 150\,^{\circ}\mathrm{C});
b) incluindo a resistência à convecção do óleo.

Passo 2

Primeiro calculamos o parâmetro das aletas retangulares. Por unidade de largura 1\\ \mathrm{m} a área de seção transversal da aleta é
A_c = t\cdot1 = 0{,}0015\\ \mathrm{m}^2
e o perímetro extrudado é
P = 2\cdot1 = 2\\ \mathrm{m}.
Logo
m = \sqrt{\frac{h_{\text{ar}}\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{25\cdot 2}{175\cdot0{,}0015}} \approx 13{,}8\\ \mathrm{m}^{-1}.
O produto mH vale
mH = 13{,}8 \times 0{,}012 = 0{,}1656,
e a eficiência da aleta é
\eta_{\text{aleta}} = \frac{\operatorname{tanh}(mH)}{mH} = \frac{\operatorname{tanh}(0{,}1656)}{0{,}1656} \approx 0{,}992.

Passo 3

Calculamos agora o número de aletas por metro de largura da placa base:
N = \frac{1}{t + S} = \frac{1}{0{,}0015 + 0{,}012} = 74{,}07\\ \mathrm{m}^{-1}.
Cada aleta tem área de troca (duas faces laterais mais a ponta) por metro de profundidade dada por
A_{\text{aleta}} = 2H\cdot1 + t\cdot1 = 2\cdot0{,}012 + 0{,}0015 = 0{,}0255\\ \mathrm{m}^2.
Logo a área total de aletas por metro de base é
A_f = N\,A_{\text{aleta}} = 74{,}07\times0{,}0255 \approx 1{,}8889\\ \mathrm{m}^2.
A área da base não coberta por aletas (as “entre-aletas”) é
A_b = N\,S\cdot1 = 74{,}07\times0{,}012 = 0{,}8889\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a área efetiva de convecção no lado das aletas é
A_{\text{eff}} = A_b + \eta_{\text{aleta}}\,A_f = 0{,}8889 + 0{,}992\times1{,}8889 = 2{,}7625\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

a) Desprezando a resistência da película de óleo, assumimos a temperatura da base fixa em T_b=T_{\infty,\text{óleo}}=150\,^{\circ}\mathrm{C}ó. A convecção no lado das aletas dá um coeficiente total equivalente por unidade de área da base:
U_{\text{ar,eff}} = h_{\text{ar}}\;\frac{A_{\text{eff}}}{1\\ \mathrm{m}^2} = 25\cdot2{,}7625 = 69{,}0625\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}.
O gradiente de temperatura é \Delta T=150-40=110\,^{\circ}\mathrm{C}. Assim
\dot q_a = U_{\text{ar,eff}}\;\Delta T = 69{,}0625\times110 \approx 7{,}597\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2}.

Passo 5

b) Agora incluímos a resistência da película de óleo. A resistência convectiva do óleo por 1\\ \mathrm{m}^2 de base é
R_{\text{óleo}} = \frac{1}{h_{\text{óleo}}\cdot1} = \frac{1}{225} = 0{,}004444\\ \frac{\mathrm{h}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{Kcal}}.óó
A resistência convectiva do ar com aletas é
R_{\text{ar}} = \frac{1}{h_{\text{ar}}\,A_{\text{eff}}} = \frac{1}{25\cdot2{,}7625} = 0{,}014481\\ \frac{\mathrm{h}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{Kcal}}.
Somando em série:
R_{\text{tot}} = R_{\text{óleo}} + R_{\text{ar}} = 0{,}004444 + 0{,}014481 = 0{,}018925.ó
O coeficiente global é
U_{\text{tot}} = \frac{1}{R_{\text{tot}}} = 52{,}82\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}},
e o fluxo de calor fica
\dot q_b = U_{\text{tot}}\,\Delta T = 52{,}82\times110 \approx 5{,}811\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2}.

Resposta

a) \dot q_a \approx 7{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)
b) \dot q_b \approx 5{,}81\times10^{3}\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)

Exercícios relacionados