(2,5) Questão 4. Considere a seguinte situação:
  • Vazão na entrada da tubulação de 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s};
  • Vazão unitária derivada ao longo do percurso =0,05 \mathrm{~L} / \mathrm{s} por m de canalização;
  • Vazão na saída da tubulação é maior que zero e deve ser considerada nos cálculos;
  • O comprimento total da canalização é 300 m;
  • A perda de carga admissivel é de 3 m ;
  • Considere que o fator de atrito da equação universal é 0,02;
  • Utilize a Equação de Universal (m=2 ; 2 m+n=5) e o Método das vazōes fictícias
  • h f=\frac{0,08263 f Q_{f}^{2} L}{D^{5}}
Pede-se: Sabendo que os diâmetros comerciais disponiveis são 200 mm e 150 mm , associe dois trechos desses condutos em série para atender aos critérios da questão. Calcule o comprimento de cada um desses trechos (L1 e L2). Expressar os comprimentos em m.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento com vazão variável ao longo de um tubo de comprimento total L=300,m, devido a uma derivação unitária q=0,05,L/ s\cdot m ao longo do percurso. A vazão na entrada é Q_{\rm in}=40,L/s e na saída fica Q_{\rm out}=Q_{\rm in}-qL. Há duas tubulações em série, uma de diâmetro comercial D_1=200,mm e outra de D_2=150,mm, e o somatório das perdas de carga deve ser 3,m. Usaremos:
– Equação universal no formato
h_f = \frac{0,08263\,f\,Q_f^2\,L_{\rm trecho}}{D^5},
com f=0,02, Q_f em m^{3}/s e D em metros;
– Método das vazões fictícias, em que cada trecho de comprimento L_i recebe uma vazão média Q_{fi} avaliada no ponto médio do trecho.

Passo 2

Convertemos vazões e derivação para m^{3}/s:
Q_{\rm in} = 40\,\text{L/s} = 0,04\,\text{m}^3/\text{s}, \quad q = 0{,}05\,\frac{\text{L}}{\text{s}\cdot\text{m}} = 5\times10^{-5}\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}\cdot\text{m}}.
A vazão ao longo da tubulação varia linearmente:
Q(x) = Q_{\rm in} - q\,x.
Se dividirmos em dois trechos de comprimentos L_1 (diâmetro D_1) e L_2=300-L_1 (diâmetro D_2), as vazões fictícias no ponto médio de cada trecho são
Q_{f1} = Q\bigl(x=\tfrac{L_1}{2}\bigr) = 0{,}04 - 5\times10^{-5}\,\frac{L_1}{2} = 0{,}04 - 2{,}5\times10^{-5}\,L_1,
Q_{f2} = Q\bigl(x=L_1+\tfrac{L_2}{2}\bigr) = 0{,}04 - 5\times10^{-5}\Bigl(L_1+\tfrac{300-L_1}{2}\Bigr) = 0{,}0325 - 2{,}5\times10^{-5}\,L_1.

Passo 3

Escrevemos a perda de carga em cada trecho usando a equação universal:
h_{f1} = \frac{0,08263\cdot 0,02\;Q_{f1}^2\;L_1}{D_1^5}, \quad h_{f2} = \frac{0,08263\cdot 0,02\;Q_{f2}^2\;L_2}{D_2^5},
em que D_1=0{,}200,m e D_2=0{,}150,m. O critério é
h_{f1} + h_{f2} = 3{,}00\;\text{m}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos, chegamos à equação em função de L_1:
5{,}1656\,(0{,}04 - 2{,}5\times10^{-5}L_1)^2\,L_1 \;+\; 21{,}7707\,(0{,}0325 - 2{,}5\times10^{-5}L_1)^2\,(300-L_1) =3.
Resolvendo numericamente por iterações ou interpolação, encontra-se
L_1 \approx 194{,}0\;\text{m}, \quad L_2 = 300 - L_1 \approx 106{,}0\;\text{m}.

Resposta

Para atender à perda de carga admissível de 3,m, use:
L 1=194,0 m de tubulação de 200 mm
L 2=106,0 m de tubulação de 150 mm

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