Uma placa plana é colocada paralelamente a uma corrente-de água que escoa a 6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 20^{\circ} \mathrm{C}. A que distância do bordo de ataque a espessura da camada limite será de 25 mm ? Dado: viscosidade cinemática da água a 20^{\circ} \mathrm{C}=1,02 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s}.

Passo 1

Resumindo, temos uma placa plana em escoamento de água a U=6,1\\ \mathrm{m/s} e T=20^\circ\mathrm{C}, com viscosidade cinemática \nu=1,02\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Pergunta: a que distância x do bordo de ataque a espessura da camada limite atinge \delta=25\\ \mathrm{mm}? Vamos usar as fórmulas clássicas de camada limite laminar e turbulenta sobre placa plana.

Passo 2

Primeiro, a região laminar segue
\delta_{\mathrm{lam}}(x)=5\,\sqrt{\frac{\nu\,x}{U}}.
Calculando até o ponto de transição laminar–turbulento em \mathrm{Re}_x=5\times10^5, temos
x_{\mathrm{cr}}=\frac{\mathrm{Re}_{\mathrm{cr}}\,\nu}{U} =\frac{5\times10^5\;\times1,02\times10^{-6}}{6,1} \approx8{,}36\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Nessa posição máxima de laminaridade, a espessura é
\delta_{\mathrm{lam}}(x_{\mathrm{cr}}) =5\sqrt{\frac{1{,}02\times10^{-6}\times0{,}0836}{6,1}} \approx0{,}59\\ \mathrm{mm},
bem menor que 25\\ \mathrm{mm}. Logo, para \delta=25\\ \mathrm{mm} já estamos em escoamento turbulento.

Passo 3

Na região turbulenta completa, a espessura aproximada é
\delta_{\mathrm{turb}}(x) =0{,}37\,\frac{x}{\mathrm{Re}_x^{1/5}} \quad\text{com}\quad \mathrm{Re}_x=\frac{U\,x}{\nu}.
Podemos reescrever
\delta_{\mathrm{turb}}(x) =0{,}37\;x\;\Bigl(\frac{\nu}{U\,x}\Bigr)^{1/5} =0{,}37\;\frac{\nu^{1/5}}{U^{1/5}}\;x^{4/5}.

Passo 4

Impondo \delta_{\mathrm{turb}}(x)=25~\mathrm{mm}=0{,}025~\mathrm{m}, temos
0{,}025 =0{,}37\;\frac{\nu^{1/5}}{U^{1/5}}\;x^{4/5} \quad\Longrightarrow\quad x^{4/5} =\frac{0{,}025\,U^{1/5}}{0{,}37\,\nu^{1/5}}.
Calculemos
\nu^{1/5}=(1{,}02\times10^{-6})^{0.2}\approx0{,}0635, \quad U^{1/5}=(6{,}1)^{0.2}\approx1{,}435.
Logo,
x^{4/5} =\frac{0{,}025\times1{,}435}{0{,}37\times0{,}0635} \approx1{,}5269 \quad\Longrightarrow\quad x =\bigl(1{,}5269\bigr)^{5/4} \approx1{,}70\\ \mathrm{m}.

Resposta

A espessura da camada limite atinge 25\\ \mathrm{mm} a aproximadamente 1{,}70\\ \mathrm{m} do bordo de ataque.

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