Um tanque de oxigênio líquido tem diâmetro de 1,20 m, um comprimento de 6 m e as extremidades hemisféricas. O ponto de ebulição do oxigênio é -182,8^circ C. Procura-se um isolante térmico que reduza a taxa de evaporação em regime permanente a não mais que 10 Kg / h. O calor de vaporização do oxigênio é 51,82 kcal / Kg. Sabendo que a temperatura ambiente varia entre 15^circ C (inverno) e 40^circ C (verão) e que a espessura do isolante não deve ultrapassar 75 mm , qual deverá ser a condutividade térmica do isolante ? Obs : não considerar as resistências à convecção ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor! A gente tem um tanque de oxigênio líquido com algumas dimensões específicas e precisa encontrar a condutividade térmica de um isolante que vai limitar a taxa de evaporação do oxigênio a, no máximo, 10 kg por hora. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações básicas de transferência de calor. Vamos precisar calcular a área de superfície do tanque, a diferença de temperatura entre o ambiente e o oxigênio líquido, e aplicar a fórmula da condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de superfície total do tanque. O tanque tem um formato cilíndrico com duas extremidades hemisféricas. O diâmetro é de 1,20 m e o comprimento do cilindro é de 6 m.
A fórmula para a área de um cilindro é:
Acilindro = 2pi r h
E para a área de uma esfera é:
Aesfera = 4pi r^2
Como temos duas extremidades hemisféricas, que juntas formam uma esfera, a área total das extremidades é $ A_{extremidades} = 4\pi r^2 $.
O raio $ r $ é metade do diâmetro:
Aextremidades = 4pi r^2
Calculando a área do cilindro:
r
Calculando a área das extremidades:
r = 1,202 = 0,60 , m
Área total do tanque:
Acilindro = 2 times pi times 0,60 times 6 = 2 times pi times 3,6 = 22,619 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor que está entrando no tanque e causando a evaporação do oxigênio. Sabemos que a taxa máxima de evaporação permitida é de 10 kg/h, e o calor de vaporização do oxigênio é de 51,82 kcal/kg.
Primeiro, vamos converter a taxa de evaporação para kcal/h:
Q = massa times calor de vaporização = 10 times 51,82 = 518,2 , kcal/h çã
Para facilitar os cálculos, vamos converter kcal para joules (1 kcal = 4184 J):
Q = 518,2 times 4184 = 2.170.588,8 , J/h
Convertendo para watts (1 W = 1 J/s):
Q = 2.170.588,83600 approx 602,94 , W

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da condução de calor para encontrar a condutividade térmica $ k $ do isolamento:
k
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor (602,94 W)
  • $ A $ é a área total (27,143 m²)
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
  • $ d $ é a espessura do isolante (75 mm = 0,075 m)
Primeiro, vamos calcular a diferença de temperatura. A temperatura ambiente máxima é 40°C e o ponto de ebulição do oxigênio é -182,8°C:
Q = k times A times De

Passo 5

Agora, isolando a condutividade térmica $ k $ na equação:
k
Substituindo os valores:
k = Q times dA times De
Calculando o numerador:
k = 602,94 times 0,07527,143 times 222,8
Calculando o denominador:
602,94 times 0,075 = 45,2205
Agora, dividindo:
27,143 times 222,8 approx 6044,02

Resposta

A condutividade térmica do isolante deve ser de aproximadamente $ 0,0075 , W/m \cdot K $.

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