Um tanque de oxigênio líquido tem diâmetro de
, um comprimento de 6 m e as extremidades hemisféricas. O ponto de ebulição do oxigênio é
. Procura-se um isolante térmico que reduza a taxa de evaporação em regime permanente a não mais que
. O calor de vaporização do oxigênio é 51,82
. Sabendo que a temperatura ambiente varia entre
(inverno) e
(verão) e que a espessura do isolante não deve ultrapassar 75 mm , qual deverá ser a condutividade térmica do isolante ? Obs : não considerar as resistências à convecção ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor! A gente tem um tanque de oxigênio líquido com algumas dimensões específicas e precisa encontrar a condutividade térmica de um isolante que vai limitar a taxa de evaporação do oxigênio a, no máximo, 10 kg por hora. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações básicas de transferência de calor. Vamos precisar calcular a área de superfície do tanque, a diferença de temperatura entre o ambiente e o oxigênio líquido, e aplicar a fórmula da condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de superfície total do tanque. O tanque tem um formato cilíndrico com duas extremidades hemisféricas. O diâmetro é de 1,20 m e o comprimento do cilindro é de 6 m.
A fórmula para a área de um cilindro é:
E para a área de uma esfera é:
Como temos duas extremidades hemisféricas, que juntas formam uma esfera, a área total das extremidades é $ A_{extremidades} = 4\pi r^2 $.
O raio $ r $ é metade do diâmetro:
Calculando a área do cilindro:
Calculando a área das extremidades:
Área total do tanque:
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de calor que está entrando no tanque e causando a evaporação do oxigênio. Sabemos que a taxa máxima de evaporação permitida é de 10 kg/h, e o calor de vaporização do oxigênio é de 51,82 kcal/kg.
Primeiro, vamos converter a taxa de evaporação para kcal/h:
Para facilitar os cálculos, vamos converter kcal para joules (1 kcal = 4184 J):
Convertendo para watts (1 W = 1 J/s):
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da condução de calor para encontrar a condutividade térmica $ k $ do isolamento:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor (602,94 W)
- $ A $ é a área total (27,143 m²)
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
- $ d $ é a espessura do isolante (75 mm = 0,075 m)
Primeiro, vamos calcular a diferença de temperatura. A temperatura ambiente máxima é 40°C e o ponto de ebulição do oxigênio é -182,8°C:
Passo 5
Agora, isolando a condutividade térmica $ k $ na equação:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora, dividindo:
Resposta
A condutividade térmica do isolante deve ser de aproximadamente $ 0,0075 , W/m \cdot K $.