As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
As letras e os algarismos sejam distintos?
As letras e os algarismos sejam distintos?
Passo 1
O enunciado dá que as placas têm três letras seguidas de quatro algarismos. As informações relevantes e o que se pede são:
- As letras são escolhidas do alfabeto com
letras. - Os algarismos são os dígitos de
a , ou seja, possibilidades para cada posição (assumo isso porque não foi dito o contrário). - A condição pedida é que “as letras e os algarismos sejam distintos”. Interpreto isso como:
- as três letras devem ser todas diferentes entre si;
- os quatro algarismos devem ser todos diferentes entre si;
- não se exige que uma letra seja diferente de um algarismo (isso nem faria sentido), só se exige distinção dentro do bloco das letras e dentro do bloco dos dígitos.
- O objetivo: contar quantas placas diferentes podem ser formadas sob essas condições.
Passo 2
Vamos contar as maneiras de formar as três letras distintas nas três primeiras posições. Aqui a ordem importa (por exemplo, a placa com letras ABC é diferente de CBA). Para escolher:
- a primeira letra há
opções; - a segunda letra, por ser distinta da primeira, tem
opções restantes; - a terceira letra, distinta das duas anteriores, tem
opções restantes.
Portanto o número de sequências de três letras distintas é dado pelo produto
Passo 3
Explicando um pouco a ideia por trás disso (fórmula de permutação sem repetição): se temos
objetos e queremos arranjar
deles em ordem sem repetir, o número de arranjos é
onde
significa o fatorial de
(produto de
até
). Aqui, no caso das letras,
e
, então
Calculemos esse produto passo a passo:
Portanto existem
sequências possíveis de três letras distintas.
Passo 4
Agora contamos as maneiras de formar os quatro algarismos distintos nas quatro posições seguintes. Aqui também a ordem importa e não se permitem repetições. Para escolher:
- o primeiro dígito tem
opções ( a ); - o segundo dígito tem
opções (diferente do primeiro); - o terceiro dígito tem
opções; - o quarto dígito tem
opções.
Portanto o número de sequências de quatro dígitos distintos é
Passo 5
Usando a mesma fórmula de permutação, isso é
Vamos calcular passo a passo:
Logo existem
sequências possíveis de quatro algarismos distintos.
Passo 6
Como escolhas das letras e dos dígitos são independentes (qualquer combinação válida de letras pode ser acompanhada por qualquer combinação válida de dígitos), o princípio multiplicativo diz que o número total de placas é o produto dos dois resultados:
Substituindo os valores que já calculamos:
Vamos multiplicar passo a passo: