As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
As letras e os algarismos sejam distintos?

Passo 1

O enunciado dá que as placas têm três letras seguidas de quatro algarismos. As informações relevantes e o que se pede são:
  • As letras são escolhidas do alfabeto com 26 letras.
  • Os algarismos são os dígitos de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades para cada posição (assumo isso porque não foi dito o contrário).
  • A condição pedida é que “as letras e os algarismos sejam distintos”. Interpreto isso como:
    • as três letras devem ser todas diferentes entre si;
    • os quatro algarismos devem ser todos diferentes entre si;
    • não se exige que uma letra seja diferente de um algarismo (isso nem faria sentido), só se exige distinção dentro do bloco das letras e dentro do bloco dos dígitos.
  • O objetivo: contar quantas placas diferentes podem ser formadas sob essas condições.

Passo 2

Vamos contar as maneiras de formar as três letras distintas nas três primeiras posições. Aqui a ordem importa (por exemplo, a placa com letras ABC é diferente de CBA). Para escolher:
  • a primeira letra há \,26 opções;
  • a segunda letra, por ser distinta da primeira, tem \,25 opções restantes;
  • a terceira letra, distinta das duas anteriores, tem \,24 opções restantes.
Portanto o número de sequências de três letras distintas é dado pelo produto
26\cdot 25\cdot 24.

Passo 3

Explicando um pouco a ideia por trás disso (fórmula de permutação sem repetição): se temos n objetos e queremos arranjar r deles em ordem sem repetir, o número de arranjos é
{}_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!},
onde n! significa o fatorial de n (produto de 1 até n). Aqui, no caso das letras, n=26 e r=3, então
{}_{26}P_{3}=\frac{26!}{(26-3)!}=\frac{26!}{23!}=26\cdot25\cdot24.
Calculemos esse produto passo a passo:
26\cdot25=650,
650\cdot24=650\cdot(20+4)=650\cdot20+650\cdot4=13\,000+2\,600=15\,600.
Portanto existem \,15\,600 sequências possíveis de três letras distintas.

Passo 4

Agora contamos as maneiras de formar os quatro algarismos distintos nas quatro posições seguintes. Aqui também a ordem importa e não se permitem repetições. Para escolher:
  • o primeiro dígito tem \,10 opções ( 0 a 9);
  • o segundo dígito tem \,9 opções (diferente do primeiro);
  • o terceiro dígito tem \,8 opções;
  • o quarto dígito tem \,7 opções.
Portanto o número de sequências de quatro dígitos distintos é
10\cdot 9\cdot 8\cdot 7.

Passo 5

Usando a mesma fórmula de permutação, isso é
{}_{10}P_{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot9\cdot8\cdot7.
Vamos calcular passo a passo:
10\cdot9=90,
90\cdot8=720,
720\cdot7=5\,040.
Logo existem \,5\,040 sequências possíveis de quatro algarismos distintos.

Passo 6

Como escolhas das letras e dos dígitos são independentes (qualquer combinação válida de letras pode ser acompanhada por qualquer combinação válida de dígitos), o princípio multiplicativo diz que o número total de placas é o produto dos dois resultados:
\bigl(26\cdot25\cdot24\bigr)\cdot\bigl(10\cdot9\cdot8\cdot7\bigr).
Substituindo os valores que já calculamos:
15\,600\cdot 5\,040.
Vamos multiplicar passo a passo:
15\,600\cdot 5\,000 = 78\,000\,000,
15\,600\cdot 40 = 624\,000,
78\,000\,000 + 624\,000 = 78\,624\,000.

Resposta

\,78\,624\,000

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