A posiçäo de um elêtron que se move ao longo do eixo x é dada por x=16 e^-t com t em segundos e x em metros. A que distancia da origem se encontra o elétron quando para momentaneamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde a posição de um elétron que se move ao longo do eixo $ x $ é dada por $ x = 16 e^{-t} $, onde $ t $ está em segundos e $ x $ em metros. O que queremos descobrir é a que distância da origem o elétron está quando ele para momentaneamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função $ x(t) = 16 e^{-t} $ nos dá a posição do elétron em qualquer instante $ t $. Para descobrir quando o elétron para, precisamos achar quando a velocidade dele é igual a zero.

Passo 3

A velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $:
v(t)

Passo 4

Agora, queremos saber quando o elétron para, ou seja, quando $ v(t) = 0 $. Então, igualamos a velocidade a zero:
v(t) = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ t $. Dividindo ambos os lados por -16:
t
Mas aqui temos um problema: a função exponencial $ e^{-t} $ nunca chega a zero para nenhum valor finito de $ t $. Ela apenas se aproxima de zero conforme $ t $ aumenta.

Passo 6

Isso significa que o elétron nunca para de verdade em um instante específico. O que acontece é que a velocidade dele diminui cada vez mais, se aproximando de zero conforme o tempo passa. Matematicamente, isso ocorre quando $ t $ tende ao infinito.

Passo 7

Então, para saber a que distância o elétron está quando “para momentaneamente”, consideramos o limite da posição $ x(t) $ quando $ t $ tende ao infinito:
x(t)

Resposta

O elétron está a 0 metros da origem quando para momentaneamente.

Exercícios relacionados