9- 9- O plano
divide o elipsoide
em dois sólidos. Se
é o volume do menor deles, qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá o elipsoide
e o plano
Queremos o volume
do menor dos dois sólidos em que o plano divide o elipsoide e, ao final, calcular
.
Conteúdo: fazer uma transformação afin para enviar o elipsoide na esfera unitária, achar a distância normalizada do plano ao centro e usar a fórmula do volume de calote esférico.
Conteúdo: fazer uma transformação afin para enviar o elipsoide na esfera unitária, achar a distância normalizada
Passo 2
Mapeamos o elipsoide na esfera unitária pela mudança de variáveis
Na nova variável
a esfera é
. O plano fica
Os coeficientes combinados são
e o termo constante é
.
Passo 3
A distância (orientada) do plano ao centro da esfera é
onde
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Passo 4
Para a esfera unitária, o volume do calote cujo plano está à distância
do centro é
Substituindo
dá
Passo 5
Voltando ao elipsoide, o fator de escala do volume é
Portanto o volume do menor sólido é