9- 9- O plano 101376 x+360448 y+589824 z=77856768 divide o elipsoide \frac{x^{2}}{512^{2}}+\frac{y^{2}}{288^{2}}+\frac{z^{2}}{176^{2}}=1 em dois sólidos. Se V é o volume do menor deles, qual o valor de \frac{V}{\pi} ?

Passo 1

O enunciado dá o elipsoide
\frac{x^{2}}{512^{2}} + \frac{y^{2}}{288^{2}} + \frac{z^{2}}{176^{2}} = 1
e o plano
101376\,x \;+\; 360448\,y \;+\; 589824\,z \;=\; 77856768.
Queremos o volume V do menor dos dois sólidos em que o plano divide o elipsoide e, ao final, calcular \tfrac V\pi.
Conteúdo: fazer uma transformação afin para enviar o elipsoide na esfera unitária, achar a distância normalizada d' do plano ao centro e usar a fórmula do volume de calote esférico.

Passo 2

Mapeamos o elipsoide na esfera unitária pela mudança de variáveis
x = 512\,u,\quad y=288\,v,\quad z=176\,w.
Na nova variável (u,v,w) a esfera é u^{2}+v^{2}+w^{2}=1. O plano fica
101376\cdot(512u)+360448\cdot(288v)+589824\cdot(176w)=77856768.
Os coeficientes combinados são
m=(101376\cdot512,\;360448\cdot288,\;589824\cdot176)=(405504,\;811008,\;811008),
e o termo constante é D=77856768.

Passo 3

A distância (orientada) do plano ao centro da esfera é
d' \;=\;\frac{D}{\|m\|}\,,
onde
\|m\|=\sqrt{405504^{2}+811008^{2}+811008^{2}} =\;405504\sqrt{1+2\cdot2^{2}} =\;405504\cdot3=1216512.
Logo
d'=\frac{77856768}{1216512}=\frac{608256}{\;\,1216512\!/128\,} =\frac{608256}{1216512}=0,5.

Passo 4

Para a esfera unitária, o volume do calote cujo plano está à distância d' do centro é
V_{\text{cap,sph}}=\frac{\pi}{3}\,(1-d')^{2}\,(2+d').
Substituindo d'=0,5
V_{\text{cap,sph}} =\frac{\pi}{3}\,(1-0,5)^{2}\,(2+0,5) =\frac{\pi}{3}\cdot(0,5)^{2}\cdot2,5 =\frac{\pi}{3}\cdot0,25\cdot2,5 =\frac{5\pi}{24}.

Passo 5

Voltando ao elipsoide, o fator de escala do volume é
abc = 512\cdot288\cdot176 = 25952256.
Portanto o volume do menor sólido é
V = abc\;\times V_{\text{cap,sph}} =25952256\cdot\frac{5\pi}{24} =5406720\,\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{V}{\pi}=5406720

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