8- Seja P o pentágono em \mathbb{R}^{2} cujos vértices, quando percorridos no sentido antihorário são: (0,0)(1,0)(100,2)(54,4)(0,3). Calcule \frac{1}{2} \int_{P}-y d x+x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \frac12\int_{P}\bigl(-y\,dx + x\,dy\bigr)
onde P é o pentágono em \mathbb{R}^2 de vértices, em ordem anti-horária,
(0,0),\,(1,0),\,(100,2),\,(54,4),\,(0,3).
O conteúdo usado será o Teorema de Green e a fórmula do polígono (shoelace) para área.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green ao campo \mathbf{F}(x,y)=(-y,x), temos
\oint_{P}(-y\,dx + x\,dy) =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr)\,dA =\iint_{D}(1+1)\,dA =2\iint_{D}1\,dA,
onde D é a região interna a P. Logo
\frac12\oint_{P}(-y\,dx + x\,dy) =\iint_{D}1\,dA
é exatamente a área de P.

Passo 3

Para encontrar a área de P usamos a fórmula do polígono (shoelace). Listamos os vértices e repetimos o primeiro no final:
(0,0),\,(1,0),\,(100,2),\,(54,4),\,(0,3),\;(0,0).

Passo 4

Calculamos
\sum x_i y_{i+1} =0\cdot0 + 1\cdot2 + 100\cdot4 + 54\cdot3 + 0\cdot0 =0 + 2 + 400 +162 +0 =564,
\sum y_i x_{i+1} =0\cdot1 + 0\cdot100 + 2\cdot54 + 4\cdot0 + 3\cdot0 =0 + 0 +108 +0 +0 =108.
A área é
\frac12\bigl|\sum x_i y_{i+1}-\sum y_i x_{i+1}\bigr| =\frac12(564-108) =\frac12\cdot456 =228.

Resposta

228

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