7- Seja C o cilindro x^{2}+y^{2}=15^{2,} 0 \leq z \leq 6, qual o valor de \mid \int_{C} x^{2} d x \wedge d y+y d y \wedge d z-d x \wedge d z \mid ?

Passo 1

O enunciado dá a superfície cilíndrica lateral
C: x^{2}+y^{2}=15^{2},\quad 0\le z\le6
e pede
\int_{C} \bigl(x^{2}\,dx\wedge dy \;+\;y\,dy\wedge dz \;-\;dx\wedge dz\bigr).
Isso é uma integral de 2-forma no \mathbb R^3. Vamos interpretá-la como fluxo de um campo vetorial F=(F_{1},F_{2},F_{3}) através de C.

Passo 2

Para a 2-forma
\omega = x^{2}\,dx\wedge dy \;+\;y\,dy\wedge dz \;-\;dx\wedge dz
a correspondência com o fluxo é
\omega = F_{1}\,dy\wedge dz \;+\;F_{2}\,dz\wedge dx \;+\;F_{3}\,dx\wedge dy.
Reescrevendo -\,dx\wedge dz = dz\wedge dx, obtemos
F_{1}=y,\quad F_{2}=1,\quad F_{3}=x^{2},
ou seja F(x,y,z)=(y,1,x^{2}).

Passo 3

Parametrizamos a superfície lateral por
\varphi(\theta,z)=(15\cos\theta,\;15\sin\theta,\;z), \quad 0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le6.
Então
\phi_{\theta}\times\phi_{z} =\bigl(-15\sin\theta,15\cos\theta,0\bigr)\times(0,0,1) =(15\cos\theta,15\sin\theta,0),
e o elemento vetorial de área é
d\mathbf S=(15\cos\theta,15\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.

Passo 4

O fluxo é
\iint_{C}F\cdot d\mathbf S =\int_{0}^{6}\!\!\int_{0}^{2\pi} \bigl(y,1,x^{2}\bigr)\cdot(15\cos\theta,15\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.
Substituindo x=15\cos\theta, y=15\sin\theta,
F\cdot d\mathbf S =15\bigl(y\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,d\theta\,dz =15\sin\theta\bigl(15\cos\theta+1\bigr)\,d\theta\,dz.
Integrando em z de 0 a 6 dá fator 6:
6\cdot15\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(15\cos\theta+1)\,d\theta.

Passo 5

Separando,
\int_{0}^{2\pi}15\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{15}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta = 0,
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.
Logo todo o integral é zero, e portanto
\int_{C}\omega = 0.

Resposta

0

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